专题总结及应用。
一、知识性专题。
专题1 二次根式的最值问题。
专题解读】涉及二次根式的最值问题，应根据题目的具体情况来决定应采用的方法，不能一概而论，但一般情况下利用二次根式的非负性来求解。
例1 当x取何值时，的值最小？最小值是多少？
分析由二次根式的非负性可知的最小值为0，因为3是常数，所以的最小值为3.
解：∵，当9x+1=0，即时，有最小值，最小值为3.
解题策略】解决此类问题一定要熟练掌握二次根式的非负性，即≥0（a≥0）.
专题2 二次根式的化简及混合运算。
专题解读】对于二次根式的化简问题，可根据定义，也可以利用这一性质，但应用性质时，要根据具体情况对有关字母的取值范围进行讨论。
例2 下列计算正确的是。
分析根据具体选项，应先进行化简，再计算。 a选项中，b选若可化为，c选项逆用平方差公式可求得，而d选项应将分子、分母都乘，得。故选a.
例3 计算的结果是。
分析本题可逆用公式（ab）m=ambm及平方差公式，将原式化为。
故选d.例4 书知。
分析本题主要利用二次根式的定义及非负性确定x的值，但要注意所得x的值应使分式有意义。
解：由二次根式的定义及分式性质，得。
解题策略】 本题中所求字母x的取值必须使原代数式有意义。
例5 化简。
解题策略】 本题应根据条件直接进行化简，主要应用性质。
例6 已知实数，a，b，c在数轴上的位置如图21-8所示，化简。
解：由a，b，c在数轴上的位置可知：
解题策略】 利用间接给出的或隐含的条件进行化简时，要充分挖掘题目中的隐含条件，再进行化简。
专题2 二次根式的化简及混合运算。
规律·方法对于无约束条件的化简问题需要分类讨论，用这种方法解题分为以下步骤：首先，求出绝对值为零时未知数的值，这些未知数的值在数轴上的对应点称为零点；其次，以这些零点为分点，把数轴划分为若干部分，即把实数集划分为若干个集合，在每个集合中分别进行化简，简称“零点分区间法”.
例8 已知。
分析这是一道二次根式化简题，在化为最简二次根式的过程中，要注意a，b的符号，本题中没明确告诉，a，b的符号，但可从a+b=-3，ab=12中分析得到。
解：∵a+b=-3，ab=12，∴a＜0，b＜0.
解题策略】 本题最容易出现的错误就是不考虑a，b的符号，把所求的式子化简，直接代入。
专题3 利用二次根式比较大小、进行计算或化简。
例9 估计×+的运算结果应在。
a. 6到7之间b. 7到8之间。
c. 8到9之间d. 9到10之间。
分析本题应计算出所给算式的结果，原式，由于，即。 故选c.
例10 已知m是的整数部分，n是的小数部分，求的值。
解：∵9＜13＜16，＜＜即3＜＜4
的整数部分为3，即m=3，的小数部分为。
二、规律方法专题。
专题4 配方法。
专题解读】 把被开方数配方，进而应用化简。
例11 化简。
规律·方法一般地，对于型的根式，可采用观察法进行配方，即找出x，y(x＞y＞0)，使得xy=b，x+y=a，则，于是。
从而使得到化简。
例12 若a，b为实数，且b=，试求的值。
分析本题中根据b=可以求出a，b，对。
的被开方数进行配方、化简。
解：由二次根式的性质得。
当。解题策略】 对于形如形式的代数式都要变为或的形式，当它们作为被开方式进行化简时，要注意。
专题5 换元法。
专题解读】 通过换元将根式的化简和计算问题转化为方程问题。
例13 计算。
解：令x=，两边同时平方得：
x2=（）2×=10
专题6 代入法。
专题解读】 通过代入求代数式的值。
例14 已知。
专题7 约分法。
专题解读】 通过约去分子和分母的公因式将第二次根式化简。
例15 化简。
例16 化简。
三、思想方法专题。
专题8 类比思想。
专题解读】 类比是根据两对象都具有一些相同或类似的属性，并且其中一个对象还具有另外某一些属性，从而推出另一对象也具有与该对象相同或相似的性质。本章类比同类项的概念，得到同类二次根式的概念，即把二次根式化简成最简二次根式后，若被开方数相同，则这样的二次根式叫做同类二次根式。我们还可以类比合并同类项去合并同类二次根式。
例17 计算。
解：（1）原式=（1+2）=3.
（2）原式=3-+2+2=2+4.
解题策略】 对于二次根式的加减法，应先将各式化为最简二次根式，再类比合并同类项的方法去合同类二次根式。
专题9 转化思想。
专题解读】 当问题比较复杂难于解决时，一般应采取转化思想，化繁为简，化难为易，本章在研究二次根式有意义的条件及一些化简求值问题时，常转化为不等式或分式等知识加以解决。
例18 函数y=中，自变量x的取值范围是 .
分析本题比较容易，主要考查函数自变量的取值范围的求法，本题中是二次根式，所以被开方数2x-4≥0,所以x≥2.故填x≥2.
例19 如图21-9所示的是一个简单的数值运算程序，若输入x的值为，则输出的数值为 .
图21-9分析本题比较容易，根据程序给定的运算顺序将问题化为二次根式求值问题，易知图中所表示的代数式为，代入可知（）2-1=2.故填2.
专题10 分类讨论思想。
专题解读】 当遇到某些数学问题存在多种情况时，应进行分类讨论。本意在运用公式进行化简时，若字母的取值范围不确定，应进行分类讨论。
例20 若化简的结果为，则x的取值范围是。
a. x为任意实数b. 1≤x≤4
c. x≥1d. x≤4
分析由题意可知，由此可知，且，由绝对值的意义可知，且，所以的取值范围是。故选b.
解题策略】 对和|a|形式的式子的化简都应分类讨论。
例21 如图21-10所示的是一块长、宽、高分别为7cm，5cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点a处，沿着长方体的表面爬到和顶点a相对的顶点b处吃食物，那么它要爬行的最短路径的长是多少？
分析这是一个求最短路径的问题，一个长方体有六个面，蚂蚁有三种不同的爬行方法，计算时要分类讨论各种方法，进而确定最佳方案。
解：沿前、右两个面爬，路径长为(cm).
沿前、上两个面爬，路径长为(cm).
沿左、上两个面爬，路径长为(cm).
所以它要爬行的最短路径长为cm.
规律·方法沿表面从长方体的一个顶点爬到相对的顶点去，共有三个爬行路线，每个路线长分别是它爬行两个展开图的对角线的长。
2011中考真题精选。
一、选择题。
1. 下列二次根式中，最简二次根式是（ ）
ab、 c、 d、
考点：最简二次根式．
专题：计算题．
分析：判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
解答：解：a、=，被开方数含分母，不是最简二次根式；故此选项错误。
b、= 被开方数含分母，不是最简二次根式；故此选项错误。
c、 ，是最简二次根式；故此选项正确；
d. =5，被开方数，含能开得尽方的因数或因式，故此选项错误。
故选c．点评：此题主要考查了最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
2. （2011江苏徐州，5，2）若式子实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
a、x≥1 b、x＞1 c、x＜1 d、x≤1
考点：二次根式有意义的条件。
专题：计算题。
分析：根据二次根式有意义的条件判断即可．
解答：解：根据二次根式有意义的条件得：x﹣1≥0，x≥1，故选a．
点评：本题考查了二次根式有意义的条件：
1）二次根式的概念．形如（a≥0）的式子叫做二次根式．
2）二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．
3）二次根式具有非负性．（a≥0）是一个非负数．
3. （2011江苏镇江常州，5，2分）若在实数范围内有意义，则x的取值范围（ ）
a．x≥2 b．x≤2
c．x＞2 d．x＜2
考点：二次根式有意义的条件．
专题：计算题．
分析：二次根式有意义，被开方数为非负数，即x﹣2≥0，解不等式求x的取值范围．
解答：解：∵在实数范围内有意义，x﹣2≥0，解得x≥2．
故选a．点评：本题考查了二次根式有意义的条件．关键是明确二次根式有意义时，被开方数为非负数．
4. （2011四川凉山，5，4分）已知，则的值为（ ）
a． b． c． d．
考点：二次根式有意义的条件．
分析：首先根据分式有意义的条件求出x的值，然后根据题干式子求出y的值，最后求出2xy的值．
解答：解：要使有意义，则，解得x＝，故y＝－3，∴2xy＝－2××3＝－15．
故选a．点评：本题主要考查二次根式有意义的条件，解答本题的关键是求出x和y的值，本题难度一般．
5. （2011台湾，4，4分）计算之值为何（ ）
a．5 b．33 c．3 d．9
考点：同类二次根式；二次根式的加减法。
分析：先将二次根式化为最简，然后合并同类项即可得出答案．
解答：解：原式＝7－5＋3＝5．
故选a．点评：本题考查同类二次根式及二次根式的加减运算，难度不大，注意只有同类二次根式才能合并．
6.（2011柳州）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
a、x＞2 b、x＞3
c、x≥2 d、x＜2
考点：二次根式有意义的条件。
专题：计算题。
分析：根据考查了二次根式（a≥0）有意义的条件得到x﹣2≥0，然后解不等式即可．
解答：解：根据题意得，x﹣2≥0，x≥2．
故选c．点评：本题考查了二次根式（a≥0）有意义的条件：a≥0．
7. （2011广东汕头）使在实数范围内有意义的x的取值范围是 x≥2 ．
考点：二次根式有意义的条件。
专题：**型。
分析：先根据二次根式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
解答：解：∵使在实数范围内有意义，x﹣2≥0，解得x≥2．
故答案为：x≥2．
点评：本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．
九年级数学二次根式知识点总结
除了课堂上的学习外，数学知识点也是学生提高数学成绩的重要途径，本文为大家提供了九年级数学二次根式知识点总结，希望对大家的学习有一定帮助。知识点一 二次根式的概念。形如a a0 的式子叫做二次根式。注 在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式 多项式 分式等代数式，但必须注意 因为负数没有平方根...
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