第二讲判别式。
—二次方程的根的检测器。
我没有试图直接解决某一物理问题，而只是试图寻求某种优美的数学。
狄拉克。知识纵横。
在解一元二次方程有关问题时，最好能知道根的特性：如是否有实数根，有几个实数根，根的符号特点等．我们形象地说，判别式是一元二次方程根的“检测器”，在以下方面有着广泛的应用：
利用判别式，判定方程实根的个数、根的特性；
运用判别式，建立等式、不等式，求方程中参数或参数的取值范围；
通过判别式，证明与方程相关的代数问题；
借助判别式，运用一元二次方程必定有解的代数模型，解几何存在性问题、最值问题．
例题求解。例1】(1)关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是。
（广东省竞赛题）
2）关于的方程只有一个实数根，则的取值范围是。
（四川省竞赛题）
思路点拨对于（1），利用判别式建立关于的不等式组，注意的隐含制约；对于（2），通过变更主元，将高次方程转化为一元二次方程根的情形讨论。
例2】若实数、满足，则的取值范围是（ ）
a 、 b 、或 c 、 d 、
数学周报》杯全国初中数学竞赛题）
思路点拨原等式可整理成关于的一元二次方程。
例3】 已知关于的方程，(1)求证：无论取任何实数值，方程总有实数根；
2)若等腰三角形△abc的一边长＝1，另两边长、c恰好是这个方程的两个根，求△abc的周长．
（荆门市中考题）
思路点拨对于(1)只需证明△≥0；对于(2)由于未指明底与腰，须分或、中有一个与c相等两种情况讨论，运用判别式、根的定义求出、的值．
例4】设方程，只有3个不相等的实数根，求的值和相应的3个根．
（重庆市竞赛题）
思路点拨去掉绝对值符号，原方程可化为两个一元二次方程．原方程只有3个不相等的实数根，则其中一个判别式大于零，另一个判别式等于零．
例5】已知，求证：
无锡市竞赛题）
分析本例可按以下不同思路探索：
1）从变形条件等式切入；
2）条件等式在形式上类似“”,从构造一元二次方程入手。
图形存在性**。
例6】 求证：对任意一个矩形a，总存在一个矩形b，使矩形b与矩形a的周长和面积比等于。
（福建省竞赛题）
学力训练。基础夯实。
1、关于的方程有实数根，则整数的最大值是。
（芜湖市中考题）
2、关于的一元二次方程，给出以下说法：
若△，则方程一定有两个不相等的实根。
若是方程的一个根，则△。
若，则方程一定有两个不相等的实数根。
若，则方程必有两个不相等的实数根。
其中，正确的说法的序号是。
3、等腰△abc中，的长是关于的方程的两根，则 。
（宁波市中考题）
4、若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
a 、 b 、 c 、 d 、
（扬州市中考题）
5、已知一直角三角形的三边为、、，b=，那么关于的方程的根的情况为。
a、有两个相等的实根 b、 没有实数根 c、有两个不相等的实数根 d、无法确定。
（河南省中考题）
6、关于x的方程x2+2kx+k-1=0的根的情况描述正确的是（ ）
（2024年潍坊市中考题）
7、在等腰△abc中，三边分别为a、b、c，其中a=5，若关于x的方程x2+（b+2）x+6-b=0有两个相等的实数根，求△abc的周长．
（江津市中考题）
8、已知△abc的三边长为a、b、c，判断方程有无实根。
9、已知：关于x的一元二次方程mx2-（3m+2）x+2m+2=0（m＞0）．
1）求证：方程有两个不相等的实数根；
2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2）．若y是关于m的函数，且y=x2-2x1，求这个函数的解析式；
3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，y≤2m？
（北京市中考题）
10、方程的实数解为。
（安徽省竞赛题）
11、已知关于的方程有且只有一个实根，则实数的取值范围是。
12、若方程有且只有相异二实根，则的取值范围是。
13．如果关于的方程没有实数根，那么关于的方程的实根的个数( )
a．2b．1c．0d．不能确定。
14、设三个方程中至少有一个方程有实根，则的取值范围是。
a 、 b 、或 c、或 d 、
（江苏省竞赛题）
15、若关于的方程没有实数根，则必有实根的方程是（ ）
ab 、cd 、
（江西省竞赛题）
16、已知，判断关于的方程的根的情况。
（河南省竞赛题）
17、设、、为互不相等的非零实数，求证：三个方程， 不可能都有两个相等的实数根。
18、关于的方程有有理根，求整数的值。
（山东省竞赛题）
综合创新。19、已知正整数满足是完全平方数，求的值。
（武汉市竞赛题）
20 、如图，ab⊥bc，dc⊥bc，垂足分别为b、c．
1）当ab=4，dc=1，bc=4时，**段bc上是否点p，使ap⊥pd？如果存在求线段bp的长；如果不存在，请说明理由；
2）设ab=a，dc=b，ad=c，那么当a、b、c之间满足什么关系时，在直线bc上存在点p，使ap⊥pd．
（南京市中考题）
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