二、当堂达标。
1．如图，点a的坐标是(2,2)，若点p在x轴上，且△apo是等腰三角形，则点p的坐标不可能是( )
a．(4,0b．(1,0)
c．(－2，0d．(2,0)
2．若函数y＝则当函数值y＝8时，自变量x的值是( )
ab．4c．±或4d．4或－
3．如图，在平面直角坐标系xoy中，分别平行x、y轴的两直线a、b相交于点a(3,4)，连接oa，若在直线a上存在点p，使△aop是等腰三角形，那么所有满足条件的点p的坐标是( )
a．(8,4) b．(8,4)或(－3,4)
c．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)
d．(8,4)或(－3,4)或(－2,4)或。
4．矩形一个内角的平分线分矩形一边长为1 cm和3 cm两部分，则这个矩形的面积为多少cm2？(
a．4 b．12 c．4或12 d．6或8
5．若正比例函数y＝2kx与反比例函数y＝(k≠0)
的图象交于点a(m,1)，则k的值是( )
a．－或 b．－或 c. d.
6．一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个角应该为。
7．如图所示，在梯形abcd中，ad∥bc，∠abc＝90°，ad＝ab＝6，bc＝14，点m是线段bc上一定点，且mc＝8.动点p从c点出发沿c→d→a→b的路线运动，运动到点b停止．在点p的运动过程中，使△pmc为等腰三角形的点p有___个．
8．在△abc中 ，ab＝ac＝12 cm，bc＝6 cm，d为bc的中点，动点p从b点出发，以每秒1 cm的速度沿b→a→c的方向运动，设运动的时间为t秒，过d、p两点的直线将△abc的周长分成两个部分，使其中一部分是另一部分的2倍，那么t的值为___
9．已知正方形abcd中，点e在边dc上，de＝2，ec＝1，如图所示．把线段ae绕点a旋转，使点e落在直线bc上的点f处，则f、c两点的距离为___
10．如图，点a、b在直线mn上， ab＝11 cm，⊙a、⊙b的半径均为1 cm，⊙a以每秒2 cm的速度自左向右运动，与此同时，⊙b的半径也不断增大，其半径r(cm)与时间t(秒)之间的关系式为r＝1＋t(t≥0)，当点a出发后___秒两圆相切．
11．(2010·柳州)如图，ab是⊙o的直径，弦bc＝2 cm，f是弦bc的中点，∠abc＝60°.若动点e以2 cm/s的速度从a点出发沿着a→b→a方向运动，设运动时间为t(s)(0≤t<3)，连接ef，当t值为多少时，△bef是直角三角形．
12．(2011·南通)已知a(1,0)，b(0，－1)，c(－1,2)，d(2，－1)，e(4,2)五个点，抛物线y＝a(x－1)2＋k(a＞0)，经过其中三个点．
1)求证：c、e两点不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上；
2)点a在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上吗？为什么？
3)求a和k的值．
13、如图，在矩形abcd中，ab=3，bc=2，点a的坐标为(1，0)，以cd为直径，在矩形abcd内作半圆，点m为圆心．设过a、b两点抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，顶点为点n．
1)求过a、c两点直线的解析式；
2)当点n在半圆m内时，求a的取值范围；
3)过点a作⊙m的切线交bc于点f，e为切点，当以点a、f,b为顶点的三角形与以c、n、m为顶点的三角形相似时，求点n的坐标．
参***。一、 例题参***。
例题1】解：由已知易得。
若是三角形两条直角边的长，则第三边长为。
若是三角形两条直角边的长，则第三边长为，若是一直角边的长，是斜边，则第三边长为。
第三边长为。
例题2】解：因为弦ab、cd均小于直径，故可确定出圆中两条平行弦ab和cd的位置关系有两种可能：
一是位于圆心o的同侧，二是位于圆心o的异侧。
如图1，过o作ef⊥cd，分别交cd、ab于e、f，则ce＝4㎝，af＝3㎝。 由勾股定理可求出oe＝3㎝，of＝4㎝。当ab、cd在圆心异侧时，距离为oe＋of＝7当ab、cd在圆心同侧时，距离为of－oe＝1㎝。
选c。图1例题3】解：勾股定理可得ae＝。
当△abe与以d、m、n为顶点的三角形相似时，dm可以与be是对应边，也可以与ab是对应边，所以本题分两种情况：
当dm与be是对应边时，，即。
当dm与ab是对应边时，，即。
故dm的长是。
例题4】：⑴过点p作pm⊥bc，垂足为m，则四边形pdcm为矩形，∴pm＝dc＝12。
qb＝16－，∴
由图可知，cm＝pd＝2，cq＝，若以b、p、q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可分为三种情况：
以q为顶点，由图可知，pq＝bq。
在rt△pmq中，，解得。
若以b为顶点，则bq＝bq。在rt△pmb中，即，△＝解得无解，∴。
若以p为顶点，则pb＝pq。在rt△pmb中，。
解得不合题意，舍去）。
综合上面原讨论可知：当秒或秒时，以b、p、q三点为顶点的三角形是等腰三角形。
二、当堂达标参***
1、答案 b解析当p点坐标为(4,0)时，点a在op的中垂线上，oa＝pa；当p点坐标为(－2，0)时，op＝oa＝2；当p点坐标为(2,0)时，op＝ap＝2，所以p点坐标不可能为(1,0)．
2、答案 d解析当x≤2时，x2＋2＝8，x＝±(舍去)；当x>2时，2x＝8，x＝4.综上，x＝－或x＝4.
3、答案 d解析 ∵点a的坐标为(3,4)，oa＝＝5.当ap＝ao时，可知p1(－2,4)，p2(8,4)，当op＝oa时，可知p3(－3,4)，当po＝pa时，设po＝pa＝m.有(m－3)2＋42＝m2，m＝，m－3＝，p4，故选d.
4、答案 c解析如图①，s矩形＝1×(1＋3)＝4；如图②，s矩形＝3×(3＋1)＝12，故选c.
5、答案 b解析 a(m,1)代入y＝中，得m＝k，代入y＝2kx中，得2k2＝1，k2＝，所以k＝± 6、答案 70°，70°，40°或55°，55°，70°解析当等腰三角形的底角的外角等于110°时，其底角为70°，顶角为180°－70°×2＝40°；当等腰三角形的顶角的外角等于110°时，其顶角为70°，底角为＝55°.
7、答案 4解析当mc为底边时，mc的中垂线交cd于一点p，该点能满足pm＝pc；当mc为腰时，分别以c、m为圆心，mc长为半径画圆，⊙c与cd交于一点p，⊙m与ab、ad各有一个交点，因此，满足条件的点p有4个．
8、答案 11或13解析当09、答案 1或5解析题目里只说“旋转”，并没有说顺时针还是逆时针，而且说的是“直线bc上的点”，所以有两种情况如图所示：旋转得到f1点，则f1c＝1；
旋转得到f2点，则f2b＝de＝2，f2c＝f2b＋bc＝5.10、答案 3或或11或13
解析两圆相切可分为如下四种情况：
当两圆第一次外切，由题意，可得11－2t＝1＋1＋t，t＝3；
当两圆第一次内切，由题意，可得11－2t＝1＋t－1，t＝；
当两圆第二次内切，由题意，可得2t－11＝1＋t－1，t＝11；
当两圆第二次外切，由题意，可得2t－11＝1＋t＋1，t＝13.
所以，点a出发后3秒或秒或11秒或13秒两圆相切．
11、解 ∵ab是⊙o的直径，∠abc＝60°，∴c＝90°，ab＝2bc＝4.
当∠bfe＝90°时，∵f是bc中点，∴bf＝×2＝1.
在rt△bef中，∠b＝60°，∴be＝2bf＝2×1＝2，ae＝4－2＝2.
又∵ae＝2t，∴2t＝2，t＝1.
当∠bef＝90°时，在rt△bef时，be＝bf＝，∴ae＝4－＝3，∴2t＝3，t＝1.75.
同样，当t＝1.75＋＝2.25时，∠bef＝90°.
综上，t＝1或1.75或2.25.
12、解 (1)证明：将c，e两点的坐标代入y＝a (x－1)2＋k(a＞0)，得解得a＝0，∴与条件a＞0不符，∴c、e两点不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上．
2)解法一：∵a、c、d三点共线(如下图)，a、c、d三点也不可能同时在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上．
同时在抛物线上的三点有如下六种可能：
a、b、c；②a、b、e；③a、b、d；④a、d、e；
b、c、d；⑥b、d、e.
将①、②四种情况(都含a点)的三点坐标分别代入y＝a (x－1)2＋k(a＞0)，解得：①无解；②无解；③a＝－1，与条件不符，舍去；④无解．
所以a点不可能在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上．
解法二：抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)的顶点为(1，k)，假设抛物线过a(1,0)，则点a必为抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)的顶点，由于抛物线的开口向上且必过五点a、b、c、d、e中的三点，所以必过x轴上方的另外两点c、e，这与(1)矛盾，所以a点不可能在抛物线y＝a (x－1)2＋k(a＞0)上．(3)①当抛物线经过(2)中⑤b、c、d三点时，则。
解得。当抛物线经过(2)中⑥b、d、e三点时，同法可求：
综上，a和k的值为或。
13、.解：(1)过点a、c直线的解析式为y=x－
2)抛物线y=ax2－5x+4a．
顶点n的坐标为(－，a)．
由抛物线、半圆的轴对称可知，抛物线的顶点在过点m且与cd垂直的直线上，又点n在半圆内，＜－a ＜2，解这个不等式，得－＜a＜－．
3)设ef=x，则cf=x，bf=2－x
在rt△abf中，由勾股定理得x=，bf=
九年级数学培优提高第三十四讲
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