第十二章全等三角形及其应用。
证明线段（或角）相等。
例1】如图，已知ad=ae,ab=ac.求证：bf=fc
2）证明线段平行。
例2】已知：如图，de⊥ac，bf⊥ac，垂足分别为e、f，de=bf，af=ce.求证：ab∥cd
3）证明线段的倍半关系，可利用加倍法或折半法将问题转化为证明两条线段相等。
例3】如图，在△ abc中，ab=ac，延长ab到d，使bd=ab，取ab的中点e，连接cd和ce. 求证：cd=2ce
ⅰ)折半法：取cd中点f，连接bf，再证δceb≌δcfb.这里注意利用bf是δacd中位线这个条件。
（ⅱ）加倍法。
证明：延长ce到f，使ef=ce，连bf.
说明：关于折半法有时不在原线段上截取一半，而利用三角形中位线得到原线段一半的线段。例如上面折道理题也可这样处理，取ac中点f，连bf(如图)（b为ad中点是利用这个办法的重要前提），然后证ce=bf.
4)证明线段相互垂直。
例4】已知：如图，a、d、b三点在同一条直线上，δadc、δbdo为等腰三角形，ao、bc的大小关系和位置关系分别如何？证明你的结论。
5、中考点拨：
例1】如图，在△abc中，ab＝ac，e是ab的中点，以点e为圆心，eb为半径画弧，交bc于点d，连结ed，并延长ed到点f，使df＝de，连结fc．
求证：∠f＝∠a．
说明：证明角（或线段）相等可以从证明角（或线段）所在的三角形全等入手，在寻求全等条件时，要注意结合图形，挖掘图中存在的对顶角、公共角、公共边、平行线的同位角、内错角等相等的关系。
例2】如图，已知△ abc为等边三角形，延长bc到d，延长ba到e，并且使ae=bd，连接ce、de.求证：ec=ed
题型展示：例1】如图，△abc中，∠c＝2∠b，∠1＝∠2。求证：ab＝ac＋cd．
剖析：证明一条线段等于另外两条线段之和的常用方法有两种，一种是截长法（即在长线段上截取一段等于两条**段的一条，再证余下的部分等于另一条**段）；如作ae＝ac是利用了角平分线是角的对称轴的特性，构造全等三角形，另一种方法是补短法（即延长一条**段等于长线段，再证明延长的部分与另一条**段相等），其目的是把证明线段的和差转化为证明线段相等的问题，实际上仍是构造全等三角形，这种转化图形的能力是中考命题的重点考查的内容．
实战模拟】1. 下列判断正确的是（ ）
a）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等。
b）有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等。
c）有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等。
d）有两角和一边对应相等的两个三角形全等。
2. 已知：如图，cd⊥ab于点d，be⊥ac于点e，be、cd交于点o，且ao平分∠bac．求证：ob＝oc．
3. 如图，已知c为线段ab上的一点，acm和cbn都是等边三角形，an和cm相交于f点，bm和cn交于e点。
求证：cef是等边三角形。
4.如图，在△abc中，ad为bc边上的中线。
求证：ad< (ab+ac)
5. 如图，在等腰rt△abc中，∠c＝90°，d是斜边上ab上任一点，ae⊥cd于e，bf⊥cd交cd的延长线于f，ch⊥ab于h点，交ae于g．
求证：bd＝cg．
第十三章轴对称。
题型一：轴对称图形的判断。
例1】如图，我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，下图中我国四大银行的商标图案中轴对称图形的是( )
a．①②b．②③c．③④d．④①
举一反三：1、下列图形中，不是轴对称图形的是( )
a．角 b．等边三角形 c．线段 d．不等边三角形。
2、下列图形中，不是轴对称图形的是。
a. 两条相交直线b. 线段。
c.有公共端点的两条相等线段 d.有公共端点的两条不相等线段。
3、下列英文字母属于轴对称图形的是（ ）
a、nb、sc、ld、e
4、下列说法中，正确的是( )
a．两个全等三角形组成一个轴对称图形。
b．直角三角形一定是轴对称图形。
c．轴对称图形是由两个图形组成的。
d．等边三角形是有三条对称轴的轴对称图形。
题型二：找轴对称图形的对称轴。
例2】等腰三角形的对称轴___条。
举一反三：1、下列说法中，正确的个数是（ ）
1）轴对称图形只有一条对称轴，（2）轴对称图形的对称轴是一条线段，（3）两个图形成轴对称，这两个图形是全等图形，（4）全等的两个图形一定成轴对称，（5）轴对称图形是指一个图形，而轴对称是指两个图形而言。
a）1个 （b）2个 （c）3个 （d）4个。
2、轴对称图形的对称轴的条数（ ）
a）只有一条 （b）2条 （c）3条 （d）至少一条。
3、正五角星的对称轴的条数是( )
a．1条 b．2条 c．5条 d．10条。
4、下列图形中有4条对称轴的是( )
a．平行四边形 b．矩形 c．正方形 d．菱形。
常见图形及其对称轴：
小结：题型一：线段垂直平分线的性质。
例3】 如图1，在△abc中，已知ac=27，ab的垂直平分线交ab于点d，交ac于点e，△bce的周长等于50，求bc的长。
图-1点评：此题是△abc中一边ab的垂直平分线ac相交；那么当ab的垂直平分线与bc相交时，(如图2),对应的是△ace的周长，它的周长也等于ac+bc.图形变化，但结论不变。
图-2举一反三：
1、如图1,在△abc中， ab的垂直平分线交ab于点d,交ac于点e,若∠bec=70°，则∠a=？
点评：此题变式求角的计算方法，应用了两个定理。按照同样的方法，图2中也能得出相应的结论：∠aec=2∠b.
例4】如图3，在△abc中，ab=ac, bc=12,∠bac =120°,ab的垂直平分线交bc边于点e, ac的垂直平分线交bc边于点n.
1) 求△aen的周长。
2) 求∠ean的度数。
3) 判断△aen的形状。
举一反三：1.如图4，在△abc中，ab=ac, bc=12,∠bac =130°,ab的垂直平分线交bc边于点e, ac的垂直平分线交bc边于点n.
1) 求△aen的周长。
2) 求∠ean的度数。
3) 判断△aen的形状。
图-42.如图，己知ab=ac，de垂直平分ab交ac、ab于d、e两点，若ab=12cm，bc=10cm,a=49，求△bce的周长和∠ebc的度数。
例5】如图，d是线段ab、bc的垂直平分线的交点，若∠abc＝50°
求∠adc举一反三：
1.如图，△abc中，de垂直平分ac交ab于e，∠a=30°，∠acb=80°，求∠cbe
2.如图，△abc内有一点d，且d为直线ab、ac垂直平分线的交点，若∠dab=20°，∠dac=30°，则∠bdc的大小是（ ）
a．100° b．80° c．70° d．50°
题型二：线段垂直平分线的判定。
例6】如图所示，rt△abc中，d是ab上一点，bd=bc，过d作ab的垂线交ac于点e，cd交be于点f。求证：be垂直平分cd。(用定义法和判定定理法两种方法)
经典例题回顾】现在你有什么更加简洁的证明过程吗？
例7】 如图，在△abc中，d为bc边上的一点，ad平分∠bac，且de⊥ab于点e，df⊥ac于点f，连接ef交ad于点g，求证：ad垂直平分ef。
举一反三：如图所示，ab>ac，的平分线与bc的垂直平分线相交于d，自d作于e，，求证：bf=cg。
例8】如图，δabc和δa’b’c’关于直线对称，下列结论中：
①δabc≌δa’b’c’； bac’≌∠b’ac； ③l垂直平分cc’；
④直线bc和b’c’的交点不一定在l上，正确的有( )
a．4个 b．3个 c．2个 d．1个。
举一反三：1、如图，δabc与δa/b/c/关于直线l对称，则∠b的度数为（ ）
a．50° b．30° c．100° d．90°
2、如图六边形abcdef是轴对称图形，cf所在的直线是它的对称轴，若∠afc+∠bcf=150°，则∠afe+∠bcd的大小是（ ）
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