第二章正交曲线坐标系下的张量分析与场论。
1、用不同于书上的方法求柱坐标系和球坐标系的拉梅系数及两坐标间的转换关系。
解：柱坐标系，
故：，，球坐标系，
故：，，两坐标间的转换关系。
1)圆柱坐标系2）球坐标系。
由球坐标系与直角坐标系的坐标变换矩阵为：
注意，圆柱坐标系中的θ和球坐标系的相等。因此圆柱坐标系与直角坐标系的坐标变换矩阵为：
直角与圆柱坐标系变换矩阵。
则球坐标系与圆柱坐标系下的坐标变换矩阵。
即球坐标系与圆柱坐标系的变换矩阵为：
也可以通过坐标之间的关系给出，从图上可知，，，且拉梅系数：圆柱。球。
将球坐标系视为新坐标系，圆柱坐标系视为旧坐标系，则由坐标变换矩阵式可得。
可以得出相同的坐标变换矩阵。
2、设是解析函数，选平面曲线坐标为，
1）、问该曲线坐标是否是正交曲线坐标？
2）、给出该曲线坐标得拉梅系数的表达式。
解：1）、因为为解析函数，所以，，故， ，则，，，故平面曲线坐标为，正交。
3、利用，求证。
证明：错误的证明：
错误，原因在于中，也要对求偏导数，不能直接与作点乘）
还有一种做法：将要证明的式直接展开，利用基矢量对坐标的导数公式，也可以证明等式为零，但是其中用不到的条件。
4、用基矢量对坐标的导数关系求旋度，散度在正交曲线坐标系中的表达式。
证明：散度公式：基矢量对坐标的导数关系式。
用克里斯托弗尔符号证明。
旋度公式：基矢量对坐标的导数关系式。
克里斯托弗尔（christoffel）符号证明。
5、设矢量场。
1）、求的散度、旋度。如为无旋场，求的势函数，2）、求过点的矢量线及积分。
解：1）、的散度。
的旋度。故为无旋场。其势函数（保守场，与积分路径无关），取积分路径如图所示。
2）、矢量线方程为：
由得，，即，故。
由得，，同理得。
由得，，，因此，过点的矢量线方程为。
由于矢量场为无旋场，因此为有势场，积分。
也可以通过与求势函数相同的积分方法求得，即。
7、若为无源场，的表达式如下：
证明。证明：为无源场，故。
即： 8、利用上题结果，证明任何一个矢量场可做如下的分解。
其中，满足。
证明：由题意，假如等式成立，只要能求得和即可。对等式两边取散度得：
满足，即：为已知量，可通过此拉普拉斯方程求得，进一步可以求出，从而可以通过，利用7题结果求得。
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