第二章习题答案

第二章矩阵及其运算答案。

1. 设矩阵。

试求，，及。

解：，2. 计算下列矩阵的乘积。

解：（1） ；

3. 设矩阵，，，计算：

解：（1）；

4. 设矩阵，其中，求。

解： =又，所以

5. 设，求及。

解：，6. 设均为阶方阵，且，证明：成立的充要条件为。

证明：（充分性）若，则；

必要性）若，即，所以。

化简得。7. 证明：对于任意的矩阵，与都是对称方阵。

证明：由于为矩阵，则为，所以为阶方阵，为阶方阵，又，所以为阶对称方阵；

同理：，所以为阶对称方阵。

8. 设、都是阶对称阵，证明是对称阵的充要条件是。

证明：由于、都是阶对称阵，则，充分性）若，则；

必要性）若是对称阵，则，所以。

9.求下列矩阵的逆阵：

解：（1）因为，所以可逆，故。

2） 因为，所以可逆，故。

10. 解下列矩阵方程：

解：（1）因为可逆，所以。

2）因为，所以可逆，故。

11. 设，若，求矩阵。

解：因为，所以可逆，且，由，又，所以可逆，故。

12. 设方阵满足，证明和可逆，并求及。

证明：由，所以可逆，且，又由，所以可逆，且。

13. 设为3阶方阵，且，求，.

解：，14. 设矩阵，求及。

解：将矩阵分块为，其中，，所以。

由于 ，所以。

同理，故。15. 设，，，求。

解：.16. 设矩阵，求的标准形。

解： 所以的标准形为。

17. 用初等变换法求下列矩阵的逆阵：

解：（1）因为，所以可逆，所以。

2）因为，所以可逆，所以。

18. 用初等变换法解下列矩阵方程：

1）设，，求使；

2）设，且，求。

解：（1）因为，所以可逆，故，所以。

2）因为，所以可逆，故，所以。

19. 用初等变换求下列矩阵的秩：

解：（1）所以；

所以。20. 设，问为何值时，可使。

解：，所以（1）当时，；

2）当时，；

3）当时，.

第二章习题答案

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