矩阵是线性代数中最重要的部分，也是高等数学各个分支不可缺少的工具，在处理许多实际问题中有着广泛的应用．矩阵是一个**，作为**的运算与数的运算既有联系又有区别．要熟练掌握矩阵的加法、乘法与数量乘法的运算规则，并熟练掌握矩阵行列式的有关性质．
正确理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质及矩阵可逆的充要条件．会用伴随矩阵求矩阵的逆．
对于几种特殊矩阵，应掌握其定义和它们的性质．
本章重点：矩阵的运算及性质；矩阵可逆的判定及求法．
本章难点：求矩阵的逆．
矩阵定义1 即由数域p中的m×n个数aij(i=1，2，…，m；j=1，2，…，n)排成一个m行，n列的数表。
称为数域p上的一个m×n矩阵．aij 称为第i行，第j列的元素．
以后我们用字母a、b、c等表示矩阵，有时为了表明a的行数和列数，可记为。
am×n 或( aij) m×n，为了表明a中的元素，可简记为a=( aij)．
当m=n时，矩阵a=(aij)n×n＝称为n阶矩阵或n阶方阵．
当m=1时，矩阵a=(aij)1×n＝(a11 a11 … a1n)称为行矩阵．
当n=1时，矩阵a=(aij)m×1＝称为列矩阵．
当矩阵中所有元素都是零时，称该矩阵为零矩阵，记作o或om×n．即。
o=当n阶矩阵的主对角线上的元素都是1，而其它元素都是零时，则称此n阶矩阵为单位矩阵，记为e或en．即。
e=对于矩阵a=(aij) m×n，称(–aij) m×n为a 的负矩阵，记为 –a，即：
a=注意：矩阵和行列式虽然在形式上有些类似，但他们是两个完全不同的概念，一方面行列式的值是一个数，而矩阵只是一个数表．另一方面行列式的行数与列数必须相等，而矩阵的行数与列数可以不等．
定义2 a=( aij)，b=( bij)都是m×n矩阵，若它们的对应元素相等，即。
aij＝bij，(i=1，2， …m，j=1，2…，n)
则称矩阵a与b 相等，记为a=b．如，由
立即可得x=5， y=6， z= –1．
思考题：．n阶矩阵与n 阶行列式有什么区别？
．试确定a、b、c的值，使得＝
矩阵的运算可以认为是矩阵之间最基本的关系．下面介绍矩阵的加法、乘法、矩阵与数的乘法和矩阵的转置．
1.矩阵的加法、减法。
定义1 设a=， b=
是两个m×n 矩阵，则矩阵。
c==称为a与b 的和，记为 c=a+b．
注意：相加的两个矩阵必须具有相同的行数和列数．
例１ 某种物资(单位：千吨)从两个产地运往三个销地，两次调运方案分别用矩阵a和矩阵b表示：
则从各产地运往各销地两次的物资调运总量为：
由于矩阵的加法归结为对应元素相加，也就是数的加法，因此容易验证，矩阵的加法具有以下性质：
设 a，b，c 均为m×n矩阵，则有。
1) a+b=b+a．
2) (a+b)+c=a+(b+c)；
3) a+0=a；
4) a+(–a)=0；
由矩阵的加法和负矩阵的定义，可以定义矩阵的减法：
a–b=a+(–b)
定义2 设有矩阵。
k是数域p中任一个数，矩阵。
称为数k与矩阵a=(aij) m×n的数量乘积．记为k a．
注意：用数乘一个矩阵，就是把矩阵的每个元素都乘上k，而不是用k乘矩阵的某一行（列）．
不难验证，矩阵的数量乘法具有以下性质：
设a，b都是m×n矩阵，k、l为数域p中的任意数．则有。
1)k(a+b)= ka+kb；
2) (k+l)a= ka+lb；
3) (kl)a= k(la)= l(ka)；
4) 1a=a； 0a=0．
例3 求矩阵x使2a+3x=2b，其中。
解：由2a+3x=2b得。
3x=2b–2a=2(b–a)
于是 x=即 x=
矩阵乘法的定义最初是在研究线性变换时提出来的，为了更好地理解这个定义，我们先看一个例子．
例3 设y1， y2和x1， x2， x3是两组变量，它们之间的关系是
又t1，t2是第三组变量，它们与x1， x2， x3的关系是。
我们想用t1， t2线性地表示出y1， y2，即：
则要求出这组系数c11， c12， c21， c22．
事实上：将(2) 代入 (1)式，有。
y1= a11 ( b11t1 +b12t2 )+a12 ( b21t1 +b22t2 )+a13 ( b31t1 +b32t2 )
=( a11b11 +a12b21+ a13b31)t1+ (a11b12 +a12b22+ a13b32)t2
y2= a21 ( b11t1 +b12t2 )+a22 ( b21t1 +b22t2 )+a23 ( b31t1 +b32t2 )
=( a21b11 +a22b21+ a23b31)t1+ (a21b12 +a22b22+ a23b32)t2
与(3) 对照，得：
c11= a11b11 +a12b21+ a13b31
c12= a11b12 +a12b22+ a13b32
c21= a21b11 +a22b21+ a23b31
c22= a21b12 +a22b22+ a23b32
如果用矩阵 a，b，c分别表示关系式 (1)，(2)，(3) 的系数矩阵，即。
我们称c是a与b的乘积，即。
a2×3 b3×2 =c2×2=(cij) 2×2，其中元素cij等于a中的第i行的元素与b中第j列的对应元素乘积之和．
于是引进矩阵乘积的定义．
定义3 设矩阵a= (aik)m×s，b= (bkj)s×n ，则由元素。
cij =ai1b1j+ai2b2j+…+aisbsj (i=1，2，…，m； j=1，2，…，n)
构成的m×n矩阵c=(cij)m×n称为矩阵a与b的乘积，记为c=ab．
从这个定义，我们可看出，应注意矩阵乘法有以下三个特点：
1)左矩阵a的列数必须等于右矩阵b的行数，矩阵a与b才可以相乘，即ab才有意义；否则ab没有意义．
2)矩阵a与b的乘积c的第i行、第j列的元素等于左矩阵a 的第i 行与右矩阵b的第j列的对应元素的乘积之和(i=1，2，…，m； j=1，2，…，n)．
3)在上述条件下，矩阵am×s与b s×m相乘所得的矩阵c的行数等于左矩阵a的行数m，列数等于右矩阵b的列数n，即 am×s b s×n = cm×n．
例4 设，求ab．
解： 因为a的列数与b的行数均为 3 ，所以ab有意义，且ab为2×3 矩阵．
如果将矩阵b 作为左矩阵， a作为右矩阵相乘，则没有意义，即ba没意义，因为b 的列数为3 ，而 a 的行数为2 ．
此例说明： ab 有意义，但 ba 不一定有意义．
例5 设。a＝，求ab 和ba．
注：在运算结果中，我们可以将一级矩阵看成一个数．此例说明，即使ab 和ba 都有意义，ab和ba的行数及列数也不一定相同．
例6 设a=， b=，求ab 和ba．
解：ab==，ba==
此例说明，即使ab和ba都有意义且它们的行列数相同，ab与ba也不相等．另外此例还说明两个非零矩阵的乘积可以是零矩阵．
例7 设 a=， b=， c= ，求ac 和bc
解：ac=＝；bc==
此例说明，由ac=bc ，c≠0，一般不能推出a=b．
以上几个例子说明了数的乘法的运算律不一定都适合矩阵的乘法．对矩阵乘法请注意下述问题：
1) 矩阵乘法不满**换律，一般来讲 ab≠ba
2) 矩阵乘法不满足消去律．一般来说，当ab=ac或ba=ca且a≠0时，不一定有b=c．
3) 两个非零矩阵的乘积，可能是零矩阵．因此，一般不能由ab=0推出 a=0 或b=0．
若矩阵a与b 满足ab=ba，则称a与b可交换．
根据矩阵乘法定义，还可以直接验证下列性质（假定这些矩阵可以进行有关运算）：
1) 结合律：(ab)c=a(bc)；
2) 分配律：a(b+c)=ab+bc， (a+b)c=ac+bc；
3) 对任意数k，有k (ab)= k a)b=a(k b)；
4) em、en 为单位矩阵，对任意矩阵am×n有。
emam×n＝am×n，am×nen＝am×n
特别地，若a是n阶矩阵，则有ea=ae=a， 即单位矩阵e在矩阵乘法中起的作用类似于数1在数的乘法中的作用．
利用矩阵的乘法运算，可以使许多问题表达简明．
定义4 设a 是n 阶方阵，规定。
a0 =e， ak+1=aka (k为非负整数)．
因为矩阵的乘法满足结合律，所以方阵的幂满足。
akal=ak+l， (ak)l=akl
其中k、l为非负整数，又因为矩阵的乘法一般不满**换律，所以对于两个n阶方阵a与b一般来说，(ab)k≠akbk．此外，若ak=0，也不一定有a＝0．
例如a=≠０但a2=＝
例10 设a，b 均为n 阶方阵，计算(a+b)2．
解：(a+b)2 =(a+b)(a+b)= a+b)a+(a+b)b=a2+ba+ab+b2
三．方阵的幂与矩阵多项式。
若设是一个n阶方阵，m个连乘称为的m次幂，记为，即，并规定。
由于矩阵乘法适合于结合律，所以方阵的幂运算满足一下运算规律（m,k均为正整数）：
定义5 设m次多项式，为n阶方阵，则称为方阵的m次多项式。
注意：一般地，
四．矩阵的转置运算。
1.矩阵的转置。
定义 6 设 m×n 矩阵
第二章矩阵习题
第2章矩阵。1 用高斯消元法解下列线性方程组。2 求齐次线性方程组的通解。3 问k取何值时，线性方程组。无解？有唯一解？有无穷多个解？有解时并求出它的解。4 当k取何值时，线性方程组。有非零解？并求出它的一般解。5 计算下列矩阵。6 计算，其中。7 设 1 计算行列式 2a b t b 的值。2 求...
第二章教案 1
第二章 整式的加减 单元教学计划。一 单元教学策略分析。一 教材所处的地位 人教版 数学 七年级上册第二章，本章由数到式，承前启后，既是有理数的概括与抽象，又是整式乘除和其他代数式运算的基础，也是学习方程 不等式和函数的基础。二 单元教学目标 1 理解并掌握单项式 多项式 整式等概念，弄清它们之间的...
第二章讲稿 1
开场白 同学们我们上一节课学习了测量平差的基本概念，知道测量必然带来误差，没有误差的观测数据是不存在的。并且学习了测量误差的分类及其各种误差的基本性质，我们本课程的学习内容是只带有偶然误差的数据处理，偶然误差服从正态分布，希望大家认真复习好所学过的概率和数理统计方面的知识。本次课程我们将学习如何来衡...