第二章讲稿 1

开场白：同学们我们上一节课学习了测量平差的基本概念，知道测量必然带来误差，没有误差的观测数据是不存在的。并且学习了测量误差的分类及其各种误差的基本性质，我们本课程的学习内容是只带有偶然误差的数据处理，偶然误差服从正态分布，希望大家认真复习好所学过的概率和数理统计方面的知识。

本次课程我们将学习如何来衡量观测结果的精度。

第二章误差理论基础。

1.1正态分布。

无论在理论还是在实用上，正态分布都是一种重要的分别，这是因为：

1）设有相互独立的随机变量，，…其总和为，无论这些随机变量原来服从什么分布，也无论他们是同分布或不同分布，只要它们具有有限的均值和方差，且其中每一个随机变量对其总和的影响都是均匀地小，也就是说，没有一个比其它的变量占有绝对优势，那么，其总和将是服从或近似服从正态分布的随机变量。

当我们对某个量进行观测时，总是不可避免地受到许许多多偶然因素的影响，其中每一个因素都引起基本误差项，而总的测量误差则是这一系列个别因素引起的基本误差项，，…之和，即，如果每一个对其总和的影响都是均匀的小，那么总和测量误差就是服从正态分布的随机变量。

2）有许多种分布，例如在后面章节要提到的二项式分布，分布，分布等等，当时，它们多趋于正态分布，或者说，许多种分布都是以正态分布为其极限分布的。

由此可见，正态分布时一种常见的概率分布，是处理观测数据的基础。

在观测值仅含偶然误差的情况下，精度与观测质量具有相同的含义，它与误差的分布状况有着直接的关系，并取决于测量条件。测量条件好，误差分布的离散度小，观测质量高，精度高；测量条件差，误差分布的离散度大，观测质量低，精度也低。测量条件相同，误差分布的离散度相同，观测质量相同，也就是等质量或等精度观测。

一、一维正态分布。

服从正态分布的一维随机变量的概率密度函数是：

其中和是分布密度的两个参数。正态分布也称为高斯分布。对一维随机变量服从参数为和的正态分布，一般记为～。

一维正态随机变量的数学期望和方差分别为。

在推导过程中需要注意到。

一维正态随机变量出现在给定区间内的概率是：

如果令。则上式变为

由概率论知道。

二、n维正态分布。

服从n维正态分布的随机向量的概率密度函数是：

n维正态随机变量的数学期望和方差分别为。

其中。这里是第i个随机变量的方差，是第j个随机变量的互协方差。、

2.2偶然误差的概率特性。

一、偶然误差的分布和统计性质。

前已指出，偶然误差是由无数偶然因素影响所致，因而每个偶然误差的数值大小和符号正负都是偶然的（或随机的）。然而，反映在个别事物上的偶然性，在大量同类事物的统计分析中却呈现出一定的统计规律性。例如，一个具有一定技术水平的射手进行射击实验，假设仅考虑许多偶然因素的影响，每发射一弹命中靶心的上、下、左、右都有可能，但当射击次数足够多时，弹着点就会呈现出明显的规律性，即越靠近靶心越密；越远离靶心越稀；差不多以靶心为对称点。

偶然误差具有与之类似的规律性。为寻求偶然误差的规律性，下面通过测量实例来说明。

某测区，在相同测量条件下，独立地观测了817个三角形的全部内角，由算得各三角形的闭合差。由于作业中已尽量剔除了粗差和系统性影响，这些三角形闭合差，就整体而言，都是偶然因素所至，故为偶然误差。它们的数值分布情况列于下面的表内（等于分界数值的闭合差，统计在数值小的区间中）。

表2.2.1

考察这一统计表，不难发现如下的规律：（1）这些闭合差在数值上不会超出一定界限，或者说超出一定界限的闭合差出现的概率为零；（2）绝对值小的闭合差比绝对值大的闭合差出现的概率要大；（3）绝对值相等的正负闭合差个数大致相等。

上述情况，不仅表现于这个例子里，在大量的测量结果中，偶然误差都有与此完全一致的规律性。

为了对偶然误差的分布情况有个更直观的了解，并为进一步从理论上加以**，可按下述方法作出以上实例的解析图。具体作法是先在横轴上截出表中的各误差区间并以之为底，再以误差出现于相应区间的频率除以区间间隔（此处取）的商为高，即，作一系列长方形，则得如图2.2.

1所示的直方图。图中每一长方形面积即为误差出现于该相应区间的频率，长方形面积之和等于1，长方形的高则表示相应区间的误差分布密度。这种图通常称为直方图，它形象地表示了误差的分布情况。

由此可知，在独立等精度条件下所得的一组观测误差，只要误差的总个数足够多，那么，误差出现在各区间的频率总是稳定在某一常数附近，而且当观测个数愈多时，稳定程度愈高。如表2.2.

1，如果在观测条件不变的情况下，再继续观测更多的三角形，则可以预见，随着观测个数的增加，误差出现在各区间的频率其变动的幅度也就愈来愈小，当时，各频率将趋于一个完全确定的值，这个值即为误差出现在各区间的概率。这就是说，一定的测量条件对应着一种确定的误差分布。

实际上误差的取值是连续的，当设想误差个数无限增多，所取区间间隔无限缩小时，则图2.2.1的直方图中各长方形上底的极限将形成一条连续曲线，设以表示，则得如图2.

2.1所示的光滑曲线。

图中的曲线即为偶然误差的概率分布曲线，又称为偶然误差的分布密度曲线。这一曲线与正态分布密度曲线极为接近，所以一般总是认为，当时，偶然误差的频率分布是以正态分布为其极限的。

理论上，可由概率论中的中心极限定理给出证明。中心极限定理指出：若随机变量是众多随机变量之和，，如果相互独立，且对的影响均匀的小，则当相当大时，随机变量趋于服从正态分布。

偶然误差正是这一类型的随机变量，即，。

通过上面的分析讨论，可用概率的术语将偶然误差的规律性阐述如下：

1）在一定的测量条件下，偶然误差的数值不超过一定限值，或者说超出一定限值的误差出现的概率为零。

2）绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的概率大。

3）绝对值相等的正负误差出现的概率相同。

这就是偶然误差的三个概率特性，或简称偶然误差三特性。这三特性可简要概括为：界限性、聚中性及对称性，它们充分揭示了表面上似乎并无规律性的偶然误差的内在规律。

掌握这一规律并加以运用，在本课程中是很重要的。

偶然误差的界限性表明，在一定测量条件下，偶然误差的数值是有一定范围的。因此我们可以根据测量条件来确定偶然误差出现的界限。显然测量条件愈好，可能出现的最大偶然误差愈小；反之，则愈大。

所以界限性是以后讨论极限误差的理论依据。

偶然误差的聚中性表明，偶然误差愈接近零，其分布愈密，而且易知，对于较好的测量条件这一特性也必相对明显和突出。

偶然误差的对称性表明，正负偶然误差的分布对称于零，故其密度函数必为偶函数，于是得偶然误差的数学期望。

这说明，偶然误差有相互抵消性，当误差个数足够多时，其算术平均值应趋于零，即。

此式与（2.2.1）式在含义上是一样的。由此又知，偶然误差的分布即以其数学期望为对称中心，此中心常称作离散中心或扩散中心。

二、真值的统计学定义。

误差是相对于绝对准确而言的。反映一个量真正大小的绝对准确的数值，称为这一量的真值。通过量测直接或间接得到的一个量的大小称为这个量的观测值。

与真值相对应的，凡以一定的精确程度反映这一量大小的数值，都统称之为此量的近似值或估计值，又简称估值。一个量的观测值或平差值，都是此量的估值。

设以表示一个量的真值，表示它的某一观测值，表示观测误差，则有。

这里是相对于真值的误差，称为真误差。

真值通常是无法测知的，自然真误差也无法获得。但是在一些情况下，有可能预知由观测值构成的某一函数的理论真值。

例如：以，，表示平面三角形三内角的观测值，三内角和的理论真值为则是已知的。若以表示三内角和的真误差，即三角形闭合差，则得。

因为三角形闭合差的真值为0，可得，故也可理解为三角形闭合差的真误差，又如，当对同一个量观测两次，设观测值为和，该量真值为，且以表示两次观测的差数的真误差，可得。

由此可见，两次观测值的差值就是差值的真误差。差值又称较差。

一个量的真值即准确反映其真正大小的数值。由于自然界中的一切事物都是在不停地发展变化着，作为测量对象的任何一量也不会例外，它的真正大小也是随时随地变化的。所以一个量的真值，只能是指该量在观测瞬间或变化极微的一定时间段内的确切大小。

按照这一观点，一个量的客观真值是真实存在的，但是由于观测误差的不可避免，依靠观测所得到的只能是某些量一定意义下的估计值。所以，真值一般是无法确知的理论值。依照统计学的观点，对（2.

2.3）式取数学期望并顾及（2.2.

1）式得。

此式表明，一个量仅含偶然误差的观测值的数学期望，就是这一量的真值。此即真值的统计学定义。

将（2.2.6）式代入（2.2.3）式，即得真误差的表达式。

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