一、选择题(每小题5分，共50分)
1．设向量a＝(1,0)，b＝，给出下列四个结论：
|a|＝|b|；②a·b＝；③a－b与b垂直；④a∥b，其中真命题的序号是( )
a．① b．③ c．①④d．②③
2．已知向量a＝(1，－2)，b＝(x,4)，且a∥b，则|a－b|等于( )
a．5 b．3 c．2 d．2
3．设向量a，b满足|a＋b|＝，a－b|＝，则a·b等于( )
a．1 b．2 c．3 d．5
4．若a＝e1＋2e2，b＝2e1－e2，则a＋2b与2a－b( )
a．一定共线 b．一定不共线。
c．当且仅当e1与e2共线时共线 d．当且仅当e1＝e2时共线。
5．向量a＝(2,3)在向量b＝(3，－4)上的投影为( )
a. b．－ c. d．－
6．设平面内有四边形abcd和点o，若＝a，＝b，＝c，＝d，且a＋c＝b＋d，则四边形abcd为( )
a．菱形 b．梯形 c．矩形 d．平行四边形。
7．设d为△abc所在平面内一点，＝3，则( )
ab.＝－c.＝＋d.＝－
8．已知非零向量，和满足·＝0且＝，则△abc为( )
a．直角三角形 b．等腰三角形 c．等边三角形 d．等腰直角三角形。
9．对于向量a，b，c和实数λ，下列命题中正确的是( )
a．若a·b＝0，则a＝0或b＝0
b．若λa＝0，则a＝0或λ＝0
c．若a2＝b2，则a＝b或a＝－b
d．若a·b＝a·c，则b＝c
10．已知点a，b，c在圆x2＋y2＝1上运动，且ab⊥bc，若点p的坐标为(2,0)，则|＋＋的最大值为( )
a．6 b．7 c．8 d．9
二、填空题(每小题5分，共25分)
11．已知a＋b＝2i－8j，a－b＝－8i＋16j，其中i·j＝0，|i|＝|j|＝1，则a·b
12．已知点p**段ab上，且||＝3||，设＝l，则实数l
13．设e1，e2是不共线的向量，已知向量＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若向量，共线，则k
14．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t
15．已知菱形abcd的边长为2，∠bad＝120°，点e，f分别在边bc，dc上，bc＝3be，dc＝λdf.若·＝1，则λ的值为___
答案。1．b |a|＝＝1，|b|＝＝a|≠|b|，①不正确，排除a，排除d.故选b.
2．b 因为a∥b，所以4＋2x＝0，所以x＝－2，a－b＝(1，－2)－(2,4)＝(3，－6)，所以|a－b|＝3.故选b.
3．a |a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，将上面两式左右两边分别相减，得4a·b＝4，所以a·b＝1.故选a.
4．c a＋2b＝e1＋2e2＋2(2e1－e2)
e1＋2e2＋4e1－2e2＝5e1，2a－b＝2(e1＋2e2)－(2e1－e2)
2e1＋4e2－2e1＋e2＝5e2，当且仅当e1与e2共线时，a＋2b与2a－b共线．故选c.
5．d 由题意得|b|＝5，所以a在b上的投影为＝
－.故选d.
6．d a－b＝d－c，所以＝，所以四边形abcd为平行四边形．故选d.
7．a ＝＋
－＋，选a.
8．d 因为、分别表示与、同向的单位向量．
所以以、为邻边的平行四边形为菱形．
所以表示向量＋的有向线段在a的平分线上．
所以由·＝0知a的平分线垂直于bc，所以△abc为等腰三角形．
又＝cosc＝，所以c＝，从而可知a＝，所以△abc为等腰直角三角形．故选d.
9．b a·b＝0还有可能a≠0且b≠0，a⊥b，故a不正确；b正确；若a2＝b2，即|a|＝|b|，但a与b的夹角可以是任意的，故c不正确；若a⊥b，a⊥c，则a·b＝a·c＝0，但b与c不一定相等，故d不正确．综上可知，选b.
10．b 由题意知a，c关于圆心(0,0)对称，设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则c(－x1，－y1)，于是。
＋＝(x1－2，y1)＋(x2－2，y2)＋(x1－2，－y1)＝(x2－6，y2)，由于点b在圆x2＋y2＝1上，所以|＋＋即是圆x2＋y2＝1上任一点到点(6,0)的距离，其最大值为7，故选b.
解析：∵∴a·b＝(－3i＋4j)·(5i－12j)＝－15|i|2－48|j|2＋56i·j＝－63＋56×0＝－63.
解析：由题意得＝3，所以＝2，故l＝.
解析：∵＝2e1－e2)－(e1＋3e2)
e1－4e2，又，共线，故存在实数λ，使＝λ，2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)．∴2，k＝－4λ＝－8.
解析：由b·c＝0知，b·c＝[ta＋(1－t)b]·b
ta·b＋(1－t)b2
t×1×1×cos60°＋1－t＝0.
即1－t＝0，所以t＝2.
解析：由题意可得·＝|cos120°＝2×2×＝－2，在菱形abcd中，易知＝，＝所以＝＋＝2＝1，解得λ＝2.
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题12分)已知向量a＝(－2,2)，b＝(2,1)，c＝(2，－1)，t∈r，1)若(ta＋b)∥c，求t的值；
2)若|a－tb|＝3，求t的值．
17.(本小题12分)在△abc中，＝(2,3)，＝1，k)，且△abc为直角三角形，求k的值．
答案。16.解：
(1)因为a＝(－2,2)，b＝(2,1)，c＝(2，－1)，所以ta＋b＝(2－2t,1＋2t)．因为(ta＋b)∥c，所以2(1＋2t)＋(2－2t)＝0，解得t＝－2.
2)|a－tb|＝
＝＝3，解得t＝－1或t＝.
17．解：若a＝90°，由已知得·＝0，可知2×1＋3k＝0，解得k＝－.
若b＝90°，则·＝0.
＝－＝1，k)－(2,3)＝(1，k－3)，·2×(－1)＋3(k－3)＝0，解得k＝.
若c＝90°，则·＝0.
可知1×(－1)＋k(k－3)＝0，即k2－3k－1＝0，解得k＝.
综上，可得k＝－，或k＝，或k＝.
18.(本小题12分)已知|a|＝3，|b|＝2，|a＋b|＝.
1)求a与b的夹角θ；
2)若c＝3a＋5b，d＝ma－3b，当m为何值时，c与d垂直？
19.(本小题12分)已知正方形abcd，e、f分别是cd、ad的中点，be、cf交于点p.
求证：(1)be⊥cf；
2)ap＝ab.
答案。18.解：(1)∵|a＋b|＝，a＋b)2＝19，即|a|2＋|b|2＋2|a||b|cosθ＝19.
9＋4＋2×3×2cosθ＝19.∴cosθ＝.
又∵0≤θ≤
2)∵c⊥d，(3a＋5b)·(ma－3b)＝0.
3ma2＋(5m－9)a·b－15b2＝0.
又∵a·b＝|a||b|cosθ＝3，27m＋15m－27－60＝0，∴m＝.
19．证明：如图建立直角坐标系xoy，其中a为原点，不妨设ab＝2，则a(0,0)，b(2,0)，c(2,2)，e(1,2)，f(0,1)．
1)＝－1,2)－(2,0)＝(1,2)，－0,1)－(2,2)＝(2，－1)，因为·＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0，所以⊥，即be⊥cf.
2)设p(x，y)，则＝(x，y－1)，因为∥，所以－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2.
同理由∥，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2.
解得x＝，所以y＝，即p.
所以2＝2＋2＝4＝2，所以||＝即ap＝ab.
20.(本小题13分)设平面内两个向量a与b互相垂直且|a|＝2，|b|＝1，又k与t是两个不同时为零的实数．
1)若x＝a＋(t－4)b与y＝－ka＋tb互相垂直，求k关于t的函数解析式k＝f(t)；
2)求函数k＝f(t)取最小值时的向量x，y.
21.(本小题14分)如图，扇形aob的弧的中点为m，动点c、d分别在oa、ob上，且oc＝bd，oa＝1，∠aob＝120°.
1)若点d是线段ob靠近点o的四分之一分点，用、表示向量；
2)求·的取值范围．
答案。20.解：
(1)因为a⊥b，x⊥y，所以a·b＝0，x·y＝0，所以[a＋(t－4)b]·(ka＋tb)＝0，所以－ka2＋ta·b－k(t－4)a·b＋t(t－4)b2＝0，所以－4k＋t(t－4)＝0，所以k＝f(t)＝t(t－4)＝(t2－4t)．
2)因为k＝f(t)＝(t2－4t)＝(t－2)2－1，所以当t＝2时，kmin＝－1，此时x＝a－2b，y＝a＋2b.
21．解：(1)由题意知oa綊mb，所以＝＋，所以＝－＝2)设＝k，则＝(1－k)，(k－1)－，k
＝，由k∈[0,1]得·的取值范围是。
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