一、选择题。
1．在数列中，a1＝2，an＋1＝(n∈n*)，依次计算a2，a3，a4，归纳推测出an的通项表达式为( )
ab. c. d.
答案 b2．用数学归纳法证明34n＋1＋52n＋1(n∈n)能被8整除时，当n＝k＋1时，对于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可变形为( )
a．56·34k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)
b．34·34k＋1＋52·52k
c．34k＋1＋52k＋1
d．25(34k＋1＋52k＋1)
答案 a二、填空题。
3．已知数列的前n项和为sn，且a1＝1，sn＝n2an(n∈n*)，试归纳猜想出sn的表达式是sn
答案 三、解答题。
4．证明：凸n边形的对角线的条数为f(n)＝n(n－3)(n≥4，n∈n*)．
证明 (1)当n＝4时，四边形有两条对角线，f(4)＝×4×(4－3)＝2，命题成立．
2)假设当n＝k(k≥4，k∈n*)时命题成立，即f(k)＝k(k－3)，那么，当n＝k＋1时，增加一个顶点，凸多边形的对角线增加k－1条，则f(k＋1)＝k(k－3)＋k－1＝(k2－k－2)＝(k＋1)(k－2)＝(k＋1)[(k＋1)－3]，即当n＝k＋1时命题也成立．
根据(1)(2)，可知命题对任意的n≥4，n∈n*都成立．
5．证明：62n－1＋1能被7整除(n∈n*)．
证明 (1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．
2)假设当n＝k(k∈n*)时，62k－1＋1能被7整除．
那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1
36(62k－1＋1)－35.
62k－1＋1能被整除，35也能被7整除，当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．
由(1)，(2)知命题成立．
6．已知数列，，…sn为该数列的前n项和，计算得s1＝，s2＝，s3＝，s4＝.
观察上述结果，推测出sn(n∈n*)，并用数学归纳法加以证明．
解析推测sn＝(n∈n*)．
用数学归纳法证明如下：
1)当n＝1时，s1＝＝，等式成立；
2)假设当n＝k时等式成立，即sk＝，那么当n＝k＋1时，sk＋1＝sk＋
也就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．
根据(1)和(2)，可知一切n∈n*，等式均成立．
7．设数列的前n项和为sn，方程x2－anx－an＝0有一根为sn－1，n＝1,2,3，….
1)求a1，a2；
2)求的通项公式．
解析 (1)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0，有一根为s1－1＝a1－1，于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝.
当n＝2时，x2－a2x－a2＝0，有一根为s2－1＝a1＋a2－1＝a2－，于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，解得a2＝.
所以a1＝，a2＝.
2)因为方程x2－anx－an＝0有一根为sn－1，所以(sn－1)2－an(sn－1)－an＝0，即s－2sn＋1－ansn＝0.
当n≥2时，an＝sn－sn－1，代入上式得sn－1sn－2sn＋1＝0]1,2)，s2＝a1＋a2＝＋＝由(*)可得s3＝，由此猜想sn＝，n＝1,2,3，….
下面用数学归纳法证明这个结论：
当n＝1时，已知结论成立．
假设n＝k(k∈n*)时，结论成立，即sk＝.
当n＝k＋1时，由(*)得sk＋1＝，所以sk＋1＝＝＝
故当n＝k＋1时结论也成立．
根据①②可知，sn＝对所有正整数n都成立．
于是，当n≥2时，an＝sn－sn－1＝－＝
又因为n＝1时，a1＝＝，符合通项公式，所以的通项公式为an＝，n＝1,2,3….
8．已知数列中，a1＝－，其前n项和sn满足an＝sn＋＋2(n≥2)，计算s1，s2，s3，s4，猜想sn的表达式，并用数学归纳法加以证明．
解析当n≥2时，an＝sn－sn－1＝sn＋＋2.
sn＝－(n≥2)．
则有s1＝a1＝－，s2＝－＝s3＝－＝s4＝－＝
由此猜想：sn＝－(n∈n*)．
用数学归纳法证明：
当n＝1时，s1＝－＝a1，猜想成立．
假设n＝k(k∈n*)猜想成立，即sk＝－成立，那么n＝k＋1时，sk＋1＝－＝
即n＝k＋1时猜想成立．
由①②可知，对任意自然数n，猜想结论均成立．
9．在数列，中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈n*)．
1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测，的通项公式，并证明你的结论；
2)证明：＋＋
解析 (1)由条件得。
2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1.
由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25.
猜测an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2.
用数学归纳法证明：
当n＝1时，由上可得结论成立．
假设当n＝k时，结论成立，即。
ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2.那么当n＝k＋1时，ak＋1＝2bk－ak＝2(k＋1)2－k(k＋1)＝(k＋1)(k＋2)，bk＋1＝＝(k＋2)2.所以当n＝k＋1时，结论也成立．
由①②，可知an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2对一切正整数都成立．
当n≥2时，由(1)知。
an＋bn＝(n＋1)(2n＋1)>2(n＋1)·n.故＋＋…
10．(2010·天津)在数列中，a1＝2，an＋1＝λan＋λn＋1＋(2－λ)2n(n∈n*其中λ>0)．
1)求a2，a3，a4；
2)猜想的通项公式，并加以证明．
解析 (1)a2＝2λ＋λ2＋(2－λ)2＝λ2＋22，a3＝λ(2＋22)＋λ3＋(2－λ)22＝2λ3＋23，a4＝λ(2λ3＋23)＋λ4＋(2－λ)23＝3λ4＋24.
2)由(1)可猜想数列通项公式an＝(n－1)λn＋2n.
下面用数学归纳法证明：
当n＝1时，a1＝2，等式成立．
假设当n＝k时等立成立，即ak＝(k－1)λk＋2k，那么ak＋1＝λak＋λk＋1＋(2－λ)2k
λ(k－1)λk＋λ2k＋λk＋1＋2k＋1－λ2k
[(k＋1)－1]λk＋1＋2k＋1.
即当n＝k＋1时等式也成立，根据①和②可知，等式对任何n∈n*都成立．
重点班·选做题。
11．首项为正数的数列满足an＋1＝(a＋3)，n∈n*.
1)证明：若a1为奇数，则对一切n≥2，an都是奇数；
2)若对一切n∈n*都有an＋1>an，求a1的取值范围．
解析 (1)已知a1是奇数，假设ak＝2m－1是奇数，其中m为正整数，则由递推关系得ak＋1＝＝m(m－1)＋1是奇数．
根据数学归纳法，对任何n∈n*，an都是奇数．
2)解法一由an＋1－an＝(an－1)(an－3)知，an＋1>an当且仅当an<1或an>3.
另一方面，若0若ak>3，则ak＋1>＝3.
根据数学归纳法，03an>3，n∈n*.
综上所述，对一切n∈n*都有an＋1>an的充要条件是03.
解法二由a2＝>a1，得a－4a1＋3>0，于是03.
an＋1－an＝－，因为a1>0，an＋1＝，所以所有的an均大于0，因此an＋1－an与an－an－1同号．根据数学归纳法，n∈n*，an＋1－an与a2－a1同号．
因此，对一切n∈n*都有an＋1>an的充要条件是03.
12．(2010·江苏卷)已知△abc的三边长都是有理数．
1)求证：cosa是有理数；
2)求证：对任意正整数n，cosna是有理数．
解析 (1)由ab、bc、ac为有理数及余弦定理知cosa＝是有理数．
2)用数学归纳法证明cosna和sina·sinna都是有理数．
当n＝1时，由(1)知cosa是有理数，从而有sina·sina＝1－cos2a也是有理数．
假设当n＝k(k≥1)时，coska和sina·sinka都是有理数．当n＝k＋1时，由cos(k＋1)a＝cosa·coska－sina·sinka，sina·sin(k＋1)a＝sina·(sina·coska＋cosa·sinka)
(sina·sina)·coska＋(sina·sinka)·cosa，及①和归纳假设，知cos(k＋1)a与sina·sin(k＋1)a都是有理数．即当n＝k＋1时，结论成立．
综合①、②可知，对任意正整数n，cosna是有理数．
1．(2011·江西卷)观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 011的末四位数字为( )
a．3 125b．5 625
c．0 625 d．8 125
答案 d解析 ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，58末四位数字为0 625,59末四位数字为3 125，510末四位数字为5 625,511末四位数字为8 125，512末四位数字为0 625，…，由上可得末四位数字周期为4，呈规律**替出现，52 011＝54×501＋7末四位数字为8 125.
2．(2011·山东卷)设函数f(x)＝(x>0)，观察：
f1(x)＝f(x)＝，f2(x)＝f(f1(x))＝f3(x)＝f(f2(x))＝f4(x)＝f(f3(x))＝
根据以上事实，由归纳推理可得：
当n∈n*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x
答案 解析依题意，先求函数结果的分母中x项系数所组成数列的通项公式，由1,3,7,15，…，可推知该数列的通项公式为an＝2n－1.又函数结果的分母中常数项依次为2,4,8,16，…，故其通项公式为bn＝2n.
高二数学课时作业13 新人教A版选修2 2
一 选择题。1 函数f x x2在区间上 a f x 的值变化很小。b f x 的值变化很小。c f x 的值不变化。d 当n很大时，f x 的值变化很小。答案 d2 当n很小时，函数f x x2在区间上的值可以用 近似代替 a fb f c f d f 0 答案 c3 在求由x a，x b a n...
高二数学课时作业
高二数学学业水平考试练习 一 1 设集合则 a b c d 2 下列给出的赋值语句中正确的是 a b c d 3 如果向量，那么向量的坐标是 a 19，6 b 6，19 c 1，16 d 16，1 4 如图1，一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面积...
高二数学课时作业 向量
课时作业 二十四 第24讲平面向量的数量积及应用 时间 45分钟分值 100分 1 已知平面向量a 1，3 b 4，2 a b与a垂直，则。2 若向量a，b的夹角为120 a 1，b 3，则 5a b 3 已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b a b 0，则 b 的取值范围是 4 在 abc中，...