天通苑学校2013—2014学年度第二学期。
数学试卷 一、选择题（本题共32分，每小题4分）
下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．
1．2的相反数是（ ）
a. －2b. 2cd.
2．2023年“博爱在京城”募捐救助活动中，我区红十字会共接收社会各界募捐款近980000元，980000用科学计数法表示为( )
a.98×105b.9.8×104 c.9.8×105d. 9.8×106
3. 关于x的方程(a -2)x2－2x－3＝0有一根为3,则另一根为（ ）
a．-1b．3c．2d．1
4．两个相似三角形周长的比是2:3，则它们的面积比是( )
a． 2:3 b． 3:2 c．4:9 d．9:4
5．如图，a，b，c三点在⊙o上，且∠a＝50°，则∠boc的度数为( )
a．40b． 50°
c． 80d．100°
6．如图，在△abc中，d、e分别是ab、ac上的点，且 de∥bc， 若ad=5， db=3，de=4，则bc等于( )
a． b． c． d．
7．将抛物线y＝ (x －1)2 +3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为( )
a．y＝ (x －2)2 b．y＝x2 c．y＝x2 +6 d．y＝ (x －2)2 +6
8．如图，正方形abcd中，ab＝8cm，对角线ac，bd
相交于点o，点e，f分别从b，c两点同时出发，以。
1cm/s的速度沿bc，cd运动，到点c，d时停止运动．
设运动时间为t(s)，△oef的面积为s(cm2)，则s(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为( )
二、填空题（本题共16分，每小题4分）
9． 分解因式：2x2 4x + 2
10．若分式有意义，则的取值范围为。
11．已知扇形的半径为4㎝，圆心角为120°，则此扇形的面积是。
12．如图，圆心b在y轴的负半轴上，半径为5的⊙b
与y轴的正半轴交于点a（0，1）.过点p（0，－7）的。
直线l与⊙b相交于c、d两点，则弦cd长的所有可能的。
整数值有___个；它们是。
三、解答题（本题共30分，每小题5分）
13．计算：．
14．解不等式组：
15. 先化简，再求值：(－其中x满足x2－x－1＝0．
16. 如图，在中，，，于。
求证： 17. 如图，在△abc中，∠a=30°，∠b=45°，ac=，求ab的长。
18．一只不透明的袋子中装有2个白球和一个红球，这些球除颜色外其余都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记录下颜色后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出一个球，请用树状图或列表的方法列出所有可能的结果，求出两次摸出的球颜色相同的概率．
四、解答题（本题共20分，每小题5分）
19． 列方程或方程组解应用题：
原来对一条长2500米的公路进行道路改造，现在采用了新的施工工艺对1500米的公路进行改造，使现在每天的工作效率是原来的1.5倍，现在所用的时间比原来所用的时间提前5天完成任务，求原来每天改造道路多少米？
20．二次函数的图象与x轴交于点a（-1, 0），与y轴交于点c（0，-5），且经过点d（3，-8）.
1）求此二次函数的解析式和顶点坐标；
2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在原点处，并写出平移后抛物线的解析式．
21．已知：△abc是边长为4的等边三角形，点o在边ab上，o过点b且分别与边ab，bc相交于点d，e，ef⊥ac，垂足为f.
1）求证：直线ef是⊙o的切线；
2）当直线df与⊙o相切时，求⊙o的半径。
22．已知关于x的方程．
1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；
2）若二次函数的图象与轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数，求k值；
3）在（2）的条件下，设抛物线的顶点为m，直线y=－2x＋9与y轴交于点c，与直线om交于点d．现将抛物线平移，保持顶点在直线od上．若平移的抛物线与射线cd（含端点c）只有一个公共点，直接写出它的顶点横坐标的值或取值范围。
五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）
23．阅读理解：
如图1，若在四边形abcd的边ab上任取一点e（点e与点a，b不重合），分别连结ed，ec，可以把四边形abcd分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把e叫做四边形abcd的边ab上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把e叫做四边形abcd的边ab上的强相似点．解决问题：
1）如图1，若∠a=∠b=∠dec=55°，试判断点e是否是四边形abcd的边ab上的相似点，并说明理由；
2）如图2，在矩形abcd中，ab=5，bc=2，且a，b，c，d四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形abcd的边ab上的一个强相似点e；
拓展**：3）如图3，将矩形abcd沿cm折叠，使点d落在ab边上的点e处．若点e恰好是四边形abcm的边ab上的一个强相似点，请直接写出的值．
图1图2图3
24.（1）如图1，在等边△abc中，点m是边bc上的任意一点（不含端点b、c），联结am，以am为边作等边△amn，联结cn．求证：∠abc=∠acn．
类比**】2）如图2，在等边△abc中，点m是边bc延长线上的任意一点（不含端点c），其它条件不变，（1）中结论∠abc=∠acn还成立吗？请说明理由．
拓展延伸】3）如图3，在等腰△abc中，ba=bc，点m是边bc上的任意一点（不含端点b、c），联结am，以am为边作等腰△amn，使顶角∠amn=∠abc．联结cn．试**∠abc与∠acn的数量关系，并说明理由．
25.如图，在平面直角坐标系中，顶点为（4，1）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧），已知点坐标为（6，0）.
1）求此抛物线的解析式；
2）联结 ab，过点作线段的垂线交抛物线于点，如果以点为圆心的圆与抛物线的对称轴相切，先补全图形，再判断直线与⊙的位置关系并加以证明；
3）已知点是抛物线上的一个动点，且位于，两点之间。问：当点运动到什么位置时，的面积最大？求出的最大面积。
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