1.如图，在中，，，是边上一点，直线于，交于，交直线于．设．
1）当取何值时，四边形是菱形？请说明理由；
2）当取何值时，四边形的面积等于？
2．如图1，矩形abcd中，ab=7cm，ad=4cm，点e为ad上一定点，点f为ad延长线上一点，且df=acm，点p从a点出发，沿ab边向点b以2cm/s的速度运动，连结pe，设点p运动的时间为ts，△pae的面积为ycm2，当0≤t≤1时，△pae的面积y（cm2）关于时间t（s）的函数图象如图2所示，连结pf，交cd于点h．
1）t的取值范围为 ，ae= cm；
2）如图3，将△hdf沿线段df进行翻折，与cd的延长线交于点m，连结am，当a为何值时，四边形pamh为菱形？并求出此时点p的运动时间t；
3）如图4，当点p出发1s后，ad边上另一动点q从e点出发，沿ed边向点d以1cm/s的速度运动，如果p，q两点中的任意一点到达终点后，另一点也停止运动，连结pq，qh．若a=cm，请问△pqh能否构成直角三角形？若能，请求出点p的运动时间t；若不能，请说明理由．
1.解：（1），，又，．
又，四边形是平行四边形．
当时，四边形是菱形．
此时，∴．在中，，∴负值不合题意，舍去）．
即当时，四边形是菱形．
2）由已知得，四边形是直角梯形，依题意，得． 整理，得．解之，得，．
∴舍去．∴当时，梯形的面积等于．
点评：求的值即是求有关线段的长度。
2. 解：（1）∵ab=7，7÷2=3.5，0≤t≤3.5，由图象可知y=t，t=1时，y=1，ae2=1，ae=1，故答案分别为0≤t≤3.5，1．
2）如图3中，∵四边形amhp是菱形，am=mh=2dm，am∥pf，∠adm=90°， mad=30°，∠pfa=∠mfa=∠mad=30°，ma=mf，∵md⊥af， ∴ad=df=4，a=4．ap=2dm=， t=．
3）①若∠pqh为直角三角形，∠pqa+∠hqd=90°，∠hqd+∠qhd=90°，∠aqp=∠qhd，∵∠paq=∠hdq=90°．
△apq∽△dqh， ∴dh=，dh∥ap， ∴t=2．
若∠phq=90°，如图4中，作pm⊥cd于m，同理可证△pmh∽△hdq，=，dh∥ap， ∴dh=t，=，3t2+16t﹣64=0，t=或（﹣8舍弃），t=2或时，△pqh能构成直角三角形．
点评】本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形，利用相似三角形的性质，列出方程解决问题，属于中考压轴题．
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