1．复数的模为，则实数的值是。
2．若展开式的二项式系数之和为，则展开式中的常数项为 ．（用数字作答）
3．“”是“”的条件．（在“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”中选一个填写）
4．已知函数，则。
5．顶点在原点且以双曲线的右准线为准线的抛物线方程是。
6．在极坐标系中，直线与圆的位置关系是。
7．设为不重合的两条直线，为不重合的两个平面．下列命题中，所有真命题的序号是。
1）若是异面直线，则；（2）若∥且∥，则∥；
3）若共面，则；（4）若且，则∥．
8．已知正四棱柱的底面积是，过相对侧棱的截面面积是，则正四棱柱的体积是 ．
9．第16届亚运会于2024年11月12日在中国广州举行，运动会期间来自大学2名和大学4名的共计6名大学生志愿者，现从这6名志愿者中随机抽取2人到体操比赛场馆服务，至少有一名大学志愿者的概率是。
10．若存在实数，使得不等式成立，则实数的取值范围为。
11．直线与圆心为的圆交于、两点，则直线与的倾斜角之和为。
12．在中，斜边，为中点，,则的最大值为。
13．已知椭圆与双曲线有公共的焦点，的一。
条渐近线与以的长轴为直径的圆相交于两点，若恰好将线段三等分，则椭。
圆的离心率为。
14．当为正整数时，函数表示的最大奇因数，如，设。
则。15．如图所示，在直四棱柱中， ,点是棱上一点．
1）求证：面；
2）求证：；
3）试确定点的位置，使得平面平面．
16．在平面直角坐标系中，已知圆：与点，为圆上的动点，线段的垂直平分线交直线于点，点的轨迹记为曲线．
（1）求曲线的方程；
（2）曲线与轴正半轴交点记为，过原点且不与轴重合的直线与曲线的交。
点记为，直线分别交直线为常数，且）于点，设。
的纵坐标分别为，求的值（用表示）．
17．已知函数。
1) 若，且在上的最大值为，最小值为，令，求的表达式；
2) 在(1)的条件下，求证：；
3）设，证明：对任意的，．
1．； 2．；3．充分不必要； 4．；5．；6．相离；7．③④8．；
15． （1）由直四棱柱，得，所以是平行四边形，所以
而， ,所以面
2）因为， 所以
又因为，且，所以
而，所以 3）当点为棱的中点时，平面平面。
取dc的中点n, ,连结交于，连结。
因为n是dc中点，bd=bc,所以；
又因为dc是面abcd与面的交线，而面abcd⊥面，所以．
又可证得，是的中点，所以bm∥on且bm=on,即bmon是平行四边形，所以bn∥om,所以om平面，因为om 面dmc1,所以平面平面．
16． (1)连接，由题意得，所以，由椭圆定义得，点的轨迹方程是。
2)设，则，的斜率分别为，则，所以直线的方程为，直线的方程，8分。
令，则，又因为在椭圆，所以，所以，其中为常数。
由得∴.当，即时， ,故；
当，即时， ，故．
2）∵当时， ，函数在上为减函数；
当时，，∴函数在上为增函数，当时，取最小值，,故。
3）∵当时，抛物线开口向上，对称轴为，又， 函数在上为增函数，或由得，∴函数在上为增函数）
不妨设，由得，令， ．
抛物线开口向上，对称轴为，函数在上单调递增，∴对任意的，有，即．
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