1. 已知全集，，，求集合及的值。,.
2．已知集合，若，求。
解】依题设，，再由解得或，因为，所以，所以，所以或2，所以或3。
因为，所以，若，则，即，若，则或，解得。
综上所述，或；或。
3．（附加题）设，求证：
3）若，则。
证明]（1）因为，且，所以。
2）假设，则存在，使，由于和有相同的奇偶性，所以是奇数或4的倍数，不可能等于，假设不成立，所以。
3）设，则。
因为）。命题的形式及等价关系。
4已知命题：实数满足，则。判断该命题的真假，并说明理由。
真。分“”与 “”两种情况讨论。
5．已知二次函数，回答下列命题是否正确，并简述理由。
1）对每一个，不论怎样的，总有成立；
2）对每一个，总存在，使得成立。
1)假。例如。
2)真。对任意。
c 组。6.判断命题m：“”与。
n：“”的真假，并说明理由。
m真，利用不等式性质可证；n假，举反例如： .
7．已知一个命题的否命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，写出原命题、逆命题、逆否命题，并判断四种命题的真假。
8．已知一个命题的逆命题“若实数满足，则” 写出原命题、否命题、逆否命题，并判断四种命题的真假。
c 组。9．在中，分别是上的点。求证：。
证明等价命题，即原命题的等价命题“若与平行，则”。过程略。
充分条件与必要条件。
10.设a、b都是c的充分条件，d是b的充分条件，d又是c的必要条件，那么b是a的什么条件？c是d的什么条件？
必要条件；充要条件。
11.集合，写出的一个充分非必要条件，并加以证明。
例如：.证明略。
c 组。12．求当时，不等式恒成立的充分非必要条件和必要非充分条件。
充分非必要条件，如（比充要条件更小范围即可）
必要非充分条件，如（比充要条件更大范围即可）
13． 求当时，不等式恒成立的充要条件。
14． 求关于的二次方程有两个不相等的正实根的充要条件。
15．关于的实系数一元二次方程，分别写出满足下列条件的充要条件：
1） 方程有一个正根，一个负根；
2） 方程有两个负根；
3） 方程有一个正根，另一个根为零；
4） 函数的值恒为正。
1）； 2）且且；
3）且； （4）且。
c 组。16．设现有以下三个条件。
甲：； 乙：； 丙：。 丁：
求证：“甲”是“乙”和“丙”的充分条件。甲不是丁的充分条件。
设，则可设。
若令则有。所以，即“甲”是“乙”的充分条件；
同理可证： “甲”是“丙”的充分条件。
令，则，得证。
1.6 子集与推出关系。
17．设，，若是的充分条件，求实数的取值范围。
18．设或，，若是的必要条件，求实数的取值范围。
或。c 组。
19．关于的方程，1）写出至少有一个正实根的充要条件。
2）写出至少有一个负的实根的一个必要不充分条件。
答案：（1） (2)包含的集合。
20．为使关于的实系数一元二次方程的两个根是不相等的正数，下列条件中哪些是必要不充分的，哪些是充分不必要的，哪些是充要的？
5）且；6）且；7）且且；
解：必要不充分条件：1，2，5，6； 充分不必要条件：8； 充要条件：7
16．设集合，集合，1）求使的实数的取值范围；
2）是否存在实数，使成立？若存在。求出实数的取值范围；若不存在，请说明理由。
解：（1），，
21．已知集合。
若中只有一个元素，求实数的值；
若中至多只有一个元素，求实数的值；
若中至少有一个负实数，求实数的值。
解：⑴时，，附合题意；
中没有元素时，；只有一个元素时，； 综上，中只有一个负根当，附合题意，当，附合题意 。
中有两根，一正一负，则。
中有两根，二负，则。
综上，。另解：
附加题：22．是关于的方程只有负根的什么条件？为什么？
解：；当时，方程无解；当时，；当时，；当时，；
是关于的方程只有负根的充分不必要条件。
高一数学复习题
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