高二数学月考2016-12-9
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，将答案填写在答题卷相应的位置上）．
1．命题“，”的否定是。
2．焦点在轴上的椭圆的焦距是2，则实数m的值是5
3．若长方体三个面的面积分别是，，，则长方体的体积等于。
4．设x是实数，则“”是“”的 ▲ 条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”或“既不充分也不必要”） 充分不必要。
5．经过点的抛物线标准方程为或。
6．与双曲线有共同的渐近线，且过点的双曲线的标准方程是。
7．已知一圆锥的体积为，底面积为，那么该圆锥的母线长为。
8．已知函数的定义域为，集合，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是。
9．已知集合，且m∩n ≠，则实数m的取值范围为。
10．已知分别是椭圆，的左、右焦点，以原点为圆心，为半径的圆与椭圆在轴左侧交于两点，若是等边三角形，则椭圆的离心率等于。
11．设m，n是空间两条不同直线，，是两个不同的平面，下面四个命题：
若，，，则；②若，，，则；
若，，，则；④若，，，则．
其中正确命题的编号是。
12．圆上有三个点到的距离为1，则实数的值是。
13．设分别是椭圆的左顶点与右焦点，若在其右准线上存在点，使得线段的垂直平分线恰好经过点，则椭圆的离心率的取值范围是。
14．两圆和恰有三条公切线，则的最小值为1
二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。
15. （本小题满分14分）
如图，在直三棱柱中，点分别为线段的中点。
1）求证：平面；
2）若在边上，，求证：.
证明：(1)如图，连结a1c．在直三棱柱abc－a1b1c1中，侧面aa1c1c为平行四边形．
又n为线段ac1的中点，a1c与ac1相交于点n，即a1c经过点n，且n为线段a1c的中点．……2分。
为m为线段a1b的中点，mn∥bc4分。
又mn平面bb1c1c，bc平面bb1c1c，mn∥平面bb1c1c6分。
2)在直三棱柱abc－a1b1c1中，cc1⊥平面abc．
又ad平面abc，∴cc1⊥ad8分。
ad⊥dc1，dc1平面bb1c1c，cc1平面bb1c1c，cc1∩dc1＝c1，ad⊥平面bb1c1c10分。
又bc平面bb1c1c，∴ad⊥bc． …12分。
又由（1）知，mn∥bc，∴mn⊥ad． …14分。
16. （本小题满分14分）
命题实数满足(其中)，命题实数满足。
1）若，且为真，求实数的取值范围；
2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围。
解：【答案】(1)由得，又，所以，当时，即为真时，实数的取值范围是，……2分。
由得，解得，即为真时，实数的取值范围是，……4分。
若为真，则真且真，所以实数的取值范围是6分。
2)由(1)知p：，则：或， …8分。
q：，则：或10分。
因为是的充分不必要条件，则，且，所以解得，故实数的取值范围是14分。
17. （本小题满分14分）
如图，四边形是矩形，平面平面，.
1）求证：平面平面；
2）点在上，若平面，求的值。
解：（1）证明：∵ abcd为矩形，ab⊥bc．
面abcd⊥面bce，面abcd∩面bce＝bc，ab面abcd，ab⊥面bce3分。
ce面bce，∴ce⊥ab．
ce⊥be，ab平面abe，be平面abe，ab∩be＝b，ce⊥平面abe6分。
ce平面aec，∴平面aec⊥平面abe． …8分。
2）连结bd交ac于点o，连结of．
de∥平面acf，de平面bde，平面acf∩平面bde＝of，de//of12分。
又矩形abcd中，o为bd中点，f为be中点，即14分。
18. （本小题满分16分）
设直线，圆 ()
1）当取一切实数时，直线与圆都有公共点，求的取值范围；
2）当时，求直线被圆截得的弦长的取值范围。
3）当时，设圆与轴相交于两点，是圆上异于的任意一点，直线交直线于点，直线交直线于点。求证：以为直径的圆总经过定点，并求出定点坐标。
解：（1）直线过定点，当取一切实数时，直线。
与圆都有公共点等价于点在圆内或在圆上，所以2分。
解得．所以的取值范围是4分。
2）设坐标为的点为点，则．
则当直线与垂直时，由垂径定理得直线被圆截得的弦长为。
……6分。
当直线过圆心时，弦长最大，即轴被圆截得的弦长为。
所以被圆截得的弦长的范围是．……8分。
3）对于圆的方程，令，即，．
设，则直线方程为．
解方程组，得，同理可得10分。
所以，半径长为，又点在圆上，所以．
故，半径长为，所以圆的方程为，……12分。
即，即，又，故圆的方程为， …14分。
令，则，所以圆经过定点，，则，所以圆经过定点且定点坐标为。 …16分。
19．（本小题满分16分）
已知椭圆过点，且它的离心率．直线与椭圆交于、两点．
1）求椭圆的标准方程；
2）当时，求证：、两点的横坐标的平方和为定值；
3）若直线与圆相切，椭圆上一点满足，求实数的取值范围．
解：(1) 设椭圆的标准方程为。
2) 由，得，设，则为定值。
3）因为直线与圆相切。
所以， 把代入并整理得：
设，则有 因为，， 所以，
又因为点在椭圆上， 所以，
因为所以，所以，所以的取值范围为．
20．（本小题满分16分）
已知椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切．
1）求椭圆的方程；
2）设，、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，求直线的斜率的取值范围；
3）在（2）的条件下，证明：直线与轴相交于定点．
解：⑴由题意知，所以，即，又因为，所以，故椭圆的方程为：．
由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为 ①
联立消去得：，由得，又不合题意，所以直线的斜率的取值范围是或．
设点，则，直线的方程为， 令，得，将代入整理，得． ②
由得①代入②整理，得，所以直线与轴相交于定点．
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