作者：panhongliang
仅供个人学习。
目录。1.非线性方程求根的数值解法。
房贷年利率1
2.线性方程组的数值解法。
配置指定成分合金3
3.估计与检验。
铝合金板的批次检验8
4插值与拟合算法。
晶粒尺寸与退火时间的关系………10
5.回归分析。
镁合金析氢与时间关系………14
6.数值积分法。
人口统计模型17
1.非线性方程求根的数值解法。
………房贷年利率。
1）问题描述。
某人欲购置一套总价为600000元的房产，首付30%，余下的70%按揭并共20年还清。已知每月还款额为3000元，求银行的年利率。
2）建立模型。
设xk为第k年的欠款数，a为每年还款数，r为年利率。可得一下关系式：
xk+1=(1+r)xk-a
由该递推关系可得：
xk=(1+r)kx0-a[(1+r)k-1]
其中a=36000,x0=420000,x20=0
3）算法的选择。
这是一个典型的非线性方程的求解问题，在此使用newton迭代法求近似解。即运用迭代公式：
4）计算过程及matlab程序。
houseloannewton
x0=0.2
x1=x0-(420*x0*(1+x0)^20-60*((1+x0)^20-1))/420*(1+x0)^20+8400*x0*(1+x0)^19-1200*(1+x0)^19)。
n=1。while (abs(x1-x0)>=1.0e-6)&(n<=100)
x0=x1。
x1=x0-(420*x0*(1+x0)^20-60*((1+x0)^20-1))/420*(1+x0)^20+8400*x0*(1+x0)^19-1200*(1+x0)^19)。
n=n+1。endx1
nmatlab程序截图。
5）计算结果与分析。
由计算结果可以看出，newton迭代收敛速度很快，仅通过7次计算便得到了所需进度的近似解。
2．线性方程组的数值解法。
………配置指定成分合金。
1） 问题描述。
先要求配置某种合金，其成分为al-hg-ge-pb，要求利用已有的al-hg-ge-pb合金、al-hg-ge合金、al-pb合金和纯al配置。其原料成分和目标成分要求如下表：
若现在欲配置100kg目标成分的al-hg-ge-pb合金，需要准备多少上述中间合金。
2)建立模型。
为了搭配合理，我们假设3种不同的中间合金的质量分别为x1、x2、x3，纯al的质量为x4，单位为kg。得到如下方程组：
0.4x1+0.8x2+0.5x3+x4=67
0.3x1+0.1x2=15
0.15x1+0.1x2=8
0.15x1+0.5x3=10
将上面的方程组写成矩阵的形式为：ax=b
其中，， 模型假设：以上数据真实有效。
由此该问题的模型可以建立如下：
可见解上述问题就需要对上面这个线性方程组进行求解。
3） 算法选择。
在此选择的算法为jacobi迭代算法，同时与矩阵直接除法即精确解做对比。jacobi迭代公式为：
4） 计算流程与matlab程序。
jacobi迭代法。
x0=[0,0,0,0]。
x1=[1,1,1,1]。
i=1。while norm(x1-x0)>=0.001&&i<100
x0=x1。
x1(1)=1/0.3*(-0.1*x0(2)+15)。
x1(2)=1/0.1*(-0.15*x0(1)+8)。
x1(3)=1/0.5*(-0.15*x0(1)+10)。
x1(4)=1/1*(-0.4*x0(1)-0.8*x0(2)-0.5*x0(3)+67)。
i=i+1。endx1
i 直接除法。
a=[0.4 0.80.5 1
b=[67158 10]’。
x=a\bmatlab程序截图：
5） 计算结果与分析。
由结果可见，经过37次迭代，jacobi迭代法产生了足够精确的结果（误差小于0.001）。与精确解对比，已经足以完成原先的合金配置要求。
同时为了确保jacobi迭代矩阵的收敛，在编程的时候将方程组中的各方程顺序做了适当的调整。
3.估计与检验。
………产品的合格检验。
1） 问题描述。
因工作需要，某厂购买了两批铝合金板。为了确保最终产品尺寸稳定，需要确保两批板材厚度差异不大。现分别在从两批板材中各抽取10块铝合金板作为样本，分别命名为a组和b组。
a：30.4，30.2，30.1，29.9，29.7，30.1，30.4，30.0，29.6，29.5
b：29.9，30.3，30.1，30.1，29.5，29.8，30.0，30.2，29.5，30.2
问两批铝合金板厚度是否相同。
2） 建立模型。
做出以下假设：两个样本相互独立。a、b两样本数据分别来自正态分布总体，且样本方差相同，记为n(μ1，σ2）n(μ2，σ2）, 1、μ2、σ2均未知。取α=0.05
3） 算法选择。
解题分析如下：
假设：h0：μ1=μ2
h1：μ1≠μ2
由于σ1=σ2=σ未知，选取统计量为。
其拒绝域为。
4） 计算流程与matlab程序。
x=[30.4 30.230.1 29.929.7 30.130.430.029.6 29.5]。
y=[29.9 30.330.1 30.129.5 29.830.0 30.229.5 30.2]。
[h,sig,ci]=ttest2(x,y,0.05,-1)h =
sig =
ci =-inf 0.2621
matlab程序截图：
5)计算结果与分析。
由matlab计算所得：h=0，即可认为在置信区间α=0.05的显著水平下，假设成立。所以可以得出结论，及两批铝合金板厚度一致。
4.插值与拟合算法。
………晶粒尺寸与退火时间的关系。
1）问题描述。
对于金属材料而言，晶粒尺寸决定了材料的诸多性能，所以在实验中我们往往希望得到预期的晶粒尺寸。而对变形铝合金而言，晶粒尺寸又与加工后的退火时间有着密切的关系。现在通过实验测得某种铝合金经过一定量的形变后置于460℃下退火，测得不同退货时间的晶粒尺寸如下表。
现要求绘制晶粒尺寸与退火时间的关系图，并求得退火时间为2.5小时时晶粒尺寸的大小。
2） 建立模型。
为绘制晶粒尺寸与退火时间的关系图，必须求得实验所测试的两个时间段中间的晶粒尺寸。为此必须使用插值来求得近似的函数曲线。
3） 算法选择。
使用差商算法，并与三次样条插值算法进行比较。在此令，即自然条件作为限制。
在此选用的2阶newton基本插值多项式为：
4） 计算流程与matlab程序：
newton
a=[0.5 1 1.5 2 3 4 5 6]。
b=[52 102 160 202 413 577 624 642]。
f01=1:1:7。
f012=1:1:6。
for i=1:1:7
f01(i)=(b(i+1)-b(i))/a(i+1)-a(i))。
endfor i=1:1:6
f012(i)=(f01(i+1)-f01(i))/a(i+2)-a(i))。
endn=1。
for i=0:0.01:1
x(n)=2+i。
y(n)=b(4)+f01(4)*(x(n)-a(4))+f012(4)*(x(n)-a(4))*x(n)-a(5))。
n=n+1。
endplot(x,y)
spline
a=[0.5 1 1.5 2 3 4 5 6]。
b=[52 102 160 202 413 577 624 642]。
a0=0.5:0.1:8。
b0=spline(a,b,a0)。
x=spline(a,b,2.5)
plot(a0,b0)。
hold on。
plot(2.5,x,’-o’)
matlab程序截图：
5） 计算结果与分析。
对于newton差商插值多项式计算了退火时间从2小时到3小时这段区域，图形接近于线性增长。由样条插值曲线图分析可知，晶粒尺寸随退火时间的改变而近似线性地增长，直到一定尺寸后变化区域平缓。同时根据计算结果，可知在2.
5小时的退货时间下，晶粒尺寸约为294.6nm。
5.回归分析。
………镁合金析氢与时间关系。
1）问题描述。
镁合金海水激活电池的一个重要性能指标便是析氢速率。现在通过实验制备得到了某种镁合金，并将其置于nacl溶液中，通过排水法收集氢气，建立其析氢量与时间之间的关系。其实验数据如下：
已知析氢量与时间为线性关系，现欲求出析氢量与与时间的函数关系。
2）建立模型。
这是典型的一元线性回归问题，其模型为。通过极大似然估计可得：。其中，。
3）算法的选择。
通过matlab编程可以很容易地求得上述未知量，从而得到未知参数a,b的估计值。
4）计算过程及matlab程序。
x=1:1:6。
y=[0.9 2.1 3.8 6.2 9.0 11.8]。
x0=mean(x)。y0=mean(y)。
lxx=0。lxy=0。
for i=1:1:6
lxx=(x(i)-x0)^2+lxx。
lxy=(x(i)-x0)*(y(i)-y0)+lxy。
endb=lxy/lxx。
a=y0-b*x0。ab
n=1:0.01:6。
m=a+b*n。
plot(x,y,'*
hold on
plot(n,m)
matlab程序截图：
5）计算结果与分析。
显然两者的函数关系为。由此关系可以**任意时间下该种镁合金在nacl溶液中的析氢量。
6.数值积分法。
………人口统计模型。
1）问题描述。
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