1． 填空题。
1）设，则在区间内方程有 _2_个实根；在区间内有 2 个实根；
2）函数在区间[0，1]上的有限增量公式中的等于；
3）在区间上，函数满足罗尔微分中值定；
4）在区间上，函数满足拉格朗日微分中值定理中的；
5）在区间上，函数及满足柯西微分中值定理中的．
2． 设在上可导，证明：存在，使．
证：设，则在上可导，从而满足拉格朗日中值定理的条件，
即， 3． 设函数在区间[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且试证：（1）存在，使；（2）对任意实数，必存在，使得．
证：1）设，则在上连续，且。
由零点定理存在，使，即。
2）设，则在上连续，在内可导，且从而满足罗尔定理的条件，由罗尔定理即。因此对任意实数，必存在，使得。
4． 设函数在上二阶可导，，且存在使．证明：在内至少存在一点，使得．
证：由已知，可以对在和上分别应用拉格朗日中值定理，从而，；
而且在上也满足拉格朗日中值定理，故，使得。
5． 证明下列等式或不等式：
证：设，则在上连续，在内可导，且。
由推论，在恒为常数，而。
因此在上。2）当时，；
证：设，则在上可导，由拉格朗日中值定理，，使得，由于。
因此当时，
证：设，则在上可导，且。
由拉格朗日中值定理，
当时， 从而。
6． 证明方程在（0，1）内有且仅有一个实根．
证：设，则在上连续，且，由闭区间上连续函数的零点定理，，也就是方程在（0，1）内一定有一个实根。
再证惟一性：假设根不惟一，则至少有两个，设为，则，不妨设，由于，在上满足罗尔定理的条件，故，这是不可能的。推理过程合理，只有假设根不惟一错了。从而方程在（0，1）内有且仅有一个实根．
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