课时分层作业21简单的线性规划问题

课时分层作业(二十一) 简单的线性规划问题。

建议用时：40分钟)

学业达标练]

一、选择题。

1．若点(x，y)位于曲线y＝|x|与y＝2所围成的封闭区域，则2x－y的最小值为( )

a．－6b．－2

c．0 d．2

a [画出可行域，如图所示，解得a(－2,2)，设z＝2x－y，把z＝2x－y变形为y＝2x－z，则直线经过点a时z取得最小值；

所以zmin＝2×(－2)－2＝－6，故选a.]

2．若x，y满足则2x＋y的最大值为( )

a．0 b．3

c．4 d．5

c [不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．令z＝2x＋y，则y＝－2x＋z，作直线2x＋y＝0并平移，当直线过点a时，截距最大，即z取得最大值，由得所以a点坐标为(1,2)，可得2x＋y的最大值为2×1＋2＝4.]

3．设变量x，y满足约束条件则z＝|x－3y|的最大值为( )

a．10 b．8

c．6 d．4

b [画出可行域，如图中阴影部分所示，令t＝x－3y，则当直线t＝x－3y经过点a(－2,2)时，t＝x－3y取得最小值－8，当直线t＝x－3y经过点b(－2，－2)时，t＝x－3y取得最大值4，又z＝|x－3y|，所以zmax＝8，故选b.]

4．若变量x，y满足则x2＋y2的最大值是( )

a．4 b．9

c．10 d．12

c [作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，设p(x，y)为平面区域内任意一点，则x2＋y2表示|op|2.

由解得故a(3，－1)，由解得故b(0，－3)，由解得故c(0,2)．|oa|2＝10，|ob|2＝9，|oc|2＝4.显然，当点p与点a重合时，|op|2即x2＋y2取得最大值．所以x2＋y2的最大值为32＋(－1)2＝10.]

5．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x＋3y＋1的最大值为( )

a．11 b．10

c．9 d．8.5

b [由已知可得x，y所满足的可行域如图阴影部分所示：

令y＝－x＋.

要使z取得最大值，只须将直线l0：y＝－x平移至a点，联立，得a(3,1)，zmax＝2×3＋3×1＋1＝10.]

二、填空题。

6．满足不等式组并使目标函数z＝6x＋8y取得最大值的点的坐标是___

0,5) [首先作出可行域如图阴影所示，设直线l0：6x＋8y＝0，然后平移直线，当直线经过平面区域内的点m(0,5)时截距最大，此时z最大．

7．若实数x，y满足则z＝3x＋2y的最小值是___

1 [不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．

设t＝x＋2y，则y＝－x＋，当x＝0，y＝0时，t最小＝0.

z＝3x＋2y的最小值为1.]

8．若x，y满足约束条件则的最大值为。

3 [画出可行域如图阴影所示，因为表示过点(x，y)与原点(0,0)的直线的斜率，所以点(x，y)在点a处时最大．

由得。所以a(1,3)，所以的最大值为3.]

三、解答题。

9．已知x，y满足约束条件目标函数z＝2x－y，求z的最大值和最小值．

解] z＝2x－y可化为y＝2x－z，z的几何意义是直线在y轴上的截距的相反数，故当z取得最大值和最小值时，应是直线在y轴上分别取得最小和最大截距的时候．作一组与l0：2x－y＝0平行的直线系l，经上下平移，可得：当l移动到l1，即经过点a(5,2)时，zmax＝2×5－2＝8，当l移动到l2，即过点c(1,4.

4)时，zmin＝2×1－4.4＝－2.4.

10．设不等式组表示的平面区域为d.若指数函数y＝ax的图象上存在区域d上的点，求a的取值范围。

解] 先画出可行域，如图所示，y＝ax必须过图中阴影部分或其边界．

a(2,9)，∴9＝a2，∴a＝3.

a>1，∴1∴a的取值范围是(1,3]．

冲a挑战练]

1．设o为坐标原点，a(1,1)，若点b(x，y)满足则·取得最小值时，点b的个数是( )

a．1 b．2

c．3 d．无数个。

b [如图，阴影部分为点b(x，y)所在的区域．

·＝x＋y，令z＝x＋y，则y＝－x＋z.

由图可知，当点b在c点或d点时，z取最小值，故点b的个数为2.]

2．设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝

a．－5 b．3

c．－5或3 d．5或－3

b [二元一次不等式组表示的平面区域如图所示，其中a.平移直线x＋ay＝0，可知在点a处，z取得最值．

因此＋a×＝7，化简得a2＋2a－15＝0，解得a＝3或a＝－5，但a＝－5时，z取得最大值，故舍去，答案为a＝3.]

3．若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最小值为－6，则k

2 [作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，z＝2x＋y，则y＝－2x＋z.易知当直线y＝－2x＋z过点a(k，k)时，z＝2x＋y取得最小值，即3k＝－6，所以k＝－2.]

4．若目标函数z＝x＋y＋1在约束条件下，取得最大值的最优解有无穷多个，则n的取值范围是___

2，＋∞先根据作出如图所示阴影部分的可行域，欲使目标函数z＝x＋y＋1取得最大值的最优解有无穷多个，需使目标函数对应的直线平移时达到可行域的边界直线x＋y－2＝0，且只有当n>2时，可行域才包含x＋y－2＝0这条直线上的线段bc或其部分．]

5．如果点p在平面区域上，点q在曲线x2＋(y＋2)2＝1上，求|pq|的最小值。

解] 画出不等式组所表示的平面区域，x2＋(y＋2)2＝1所表示的曲线是以(0，－2)为圆心，1为半径的一个圆．

如图所示，只有当点p在点a，点q在点b(0，－1)时，|pq|取最小值。

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