2011—2023年第一学期九年级数学赛课教案。
授课内容：第24章第一节第四课时： 圆周角
授课时间：2023年10月25日星期二下午第节。
授课班级：九（2）班。
授课教师： 黄廷相。
教学内容。1．圆周角的概念．
2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弦所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．
教学目标。一、知识与技能。
1．了解圆周角的概念．
2．理解圆周角的定理：理解圆周角定理的推论。
二、过程与方法
设置情景，给出圆周角概念，**这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．
三、情感、态度与价值观。
经历探索圆周角及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．
教学重难点、关键。
1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．
2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．
3．关键：**圆周角的定理的存在．
教学方法：学生自学——独立思考——合作交流——教师点评——当堂训练。
教具准备：小黑板。
教学过程。一、复习引入。
（学生活动）请同学们口答下面两个问题．
1．什么叫圆心角？
2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？
老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角．
（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等．
刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要**，要研究，要解决的问题．
二、出示学习目标：
问题：如图所示的⊙o，我们在射门游戏中，设e、f是球门，设球员们只能在所在的⊙o其它位置射门，如图所示的a、b、c点．通过观察，我们可以发现像∠eaf、∠ebf、∠ecf这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．
1．一个弧上所对的圆周角的个数有多少个？
2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？
3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？
（学生分组讨论）提问。
二、三位同学代表发言．
老师点评：1．一个弧上所对的圆周角的个数有无数多个．
2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．
3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．
下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”
（1）设圆周角∠abc的一边bc是⊙o的直径，如图所示。
∵∠aoc是△abo的外角。
∴∠aoc=∠abo+∠bao
∵oa=ob
∴∠abo=∠bao
∴∠aoc=∠abo
∴∠abc=∠aoc
2）如图，圆周角∠abc的两边ab、ac在一条直径od的两侧，那么∠abc=∠aoc吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．
老师点评：连结bo交⊙o于d同理∠aod是△abo的外角，∠cod是△boc的外角，那么就有∠aod=2∠abo，∠doc=2∠cbo，因此∠aoc=2∠abc．
3）如图，圆周角∠abc的两边ab、ac在一条直径od的同侧，那么∠abc=∠aoc吗？请同学们独立完成证明．
老师点评：连结oa、oc，连结bo并延长交⊙o于d，那么∠aod=2∠abd，∠cod=2∠cbo，而∠abc=∠abd-∠cbo=∠aod-∠cod=∠aoc
现在，我如果在画一个任意的圆周角∠ab′c，同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．
从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
进一步，我们还可以得到下面的推导：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．
例1．如图，ab是⊙o的直径，bd是⊙o的弦，延长bd到c，使ac=ab，bd与cd的大小有什么关系？为什么？
分析：bd=cd，因为ab=ac，所以这个△abc是等腰，要证明d是bc的中点，只要连结ad证明ad是高或是∠bac的平分线即可．
解：bd=cd
理由是：如图24-30，连接ad
∵ab是⊙o的直径。
∴∠adb=90°即ad⊥bc
又∵ac=ab
∴bd=cd
三、巩固练习。
1．教材p92 思考题．
2．教材p93 练习．
四、应用拓展。
例2．如图，已知△abc内接于⊙o，∠a、∠b、∠c的对边分别设为a，b，c，⊙o半径为r，求证： =2r．
分析：要证明===2r，只要证明=2r， =2r， =2r，即sina=，sinb=，sinc=，因此，十分明显要在直角三角形中进行．
证明：连接co并延长交⊙o于d，连接db
∵cd是直径。
∴∠dbc=90°
又∵∠a=∠d
在rt△dbc中，sind=，即2r=
同理可证： =2r， =2r
∴==2r五、归纳小结（学生归纳，老师点评）
本节课应掌握：
1．圆周角的概念；
2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都相等这条弧所对的圆心角的一半；
3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题．
六、布置作业。
1．教材p95 综合运用 拓广探索．
2．选用课时作业设计．
第三课时作业设计。
一、选择题。
1．如图1，a、b、c三点在⊙o上，∠aoc=100°，则∠abc等于（ ）
a．140° b．110° c．120° d．130°
2．如图2，∠1、∠2、∠3、∠4的大小关系是（ ）
a．∠4<∠1<∠2<∠3 b．∠4<∠1=∠3<∠2
c．∠4<∠1<∠3∠2 d．∠4<∠1<∠3=∠2
3．如图3，ad是⊙o的直径，ac是弦，ob⊥ad，若ob=5，且∠cad=30°，则bc等于（ ）
a．3 b．3+ c．5- d．5
二、填空题。
1．半径为2a的⊙o中，弦ab的长为2a，则弦ab所对的圆周角的度数是___
2．如图4，a、b是⊙o的直径，c、d、e都是圆上的点，则∠1+∠2
3．如图5，已知△abc为⊙o内接三角形，bc=1，∠a=60°，则⊙o半径为___
三、综合提高题。
1．如图，弦ab把圆周分成1：2的两部分，已知⊙o半径为1，求弦长ab．
2．如图，已知ab=ac，∠apc=60°
（1）求证：△abc是等边三角形．
2）若bc=4cm，求⊙o的面积．
3．如图，⊙c经过坐标原点，且与两坐标轴分别交于点a与点b，点a的坐标为（0，4），m是圆上一点，∠bmo=120°．
（1）求证：ab为⊙c直径．
（2）求⊙c的半径及圆心c的坐标．
答案：一、1．d 2．b 3．d
二、1．120°或60° 2．90° 3．
三、1． 2．（1）证明：∵∠abc=∠apc=60°，又，∴∠acb=∠abc=60°，∴abc为等边三角形．
2）解：连结oc，过点o作od⊥bc，垂足为d，在rt△odc中，dc=2，∠ocd=30°，设od=x，则oc=2x，∴4x2-x2=4，∴oc=
3．（1）略 （2）4，（-2，2）
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