1、在一平直河岸同侧有两个村庄，到的距离分别是3km和2km，．现计划在河岸上建一抽水站，用输水管向两个村庄供水．
方案设计。某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中于点）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为，且（其中点与点关于对称，与交于点）．
观察计算。1）在方案一中km（用含的式子表示）；
2）在方案二中，组长小宇为了计算的长，作了如图8-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算km（用含的式子表示）．
探索归纳（1）①当时，比较大小：（填“＞”或“＜”
当时，比较大小：（填“＞”或“＜”
2）请你参考右边方框中的方法指导，就（当时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？
解：2、阅读理解：
我们知道，任意两点关于它们所连线段的中点成中心对称，在平面直角坐标系中，任意两点p(x1，y1)、q(x2，y2)的对称中心的坐标为（，）
观察应用：1）如图，在平面直角坐标系中，若点p1(0，－1)、p2(2，3)的对称中心是点a，则点a的坐标为 ；
2）另取两点b(－1.6，2.1)、c(－1，0).
有一电子青蛙从点p1处开始依次关于点a、b、c作循环对称跳动，即第一次跳到点p1关于点a的对称点p2处，接着跳到点p2关于点b的对称点p3处，第三次再跳到点p3关于点c的对称点p4处，第四次再跳到点p4关于点a的对称点p5处，…．则p3、p8的坐标分别为。
拓展延伸：
3）求出点p2012的坐标，并直接写出。
在x轴上与点p2012、点c构成等腰三角形。
的点的坐标。
3、阅读材料：如图，△abc中，ab=ac，p为底边bc上任意一点，点p到两腰的距离分别为，腰上的高为h，连结ap，则。
即： 定值）
1）理解与应用。
如图，在边长为3的正方形abc中，点e为对角线bd上的一点，且be=bc，f为ce上一点，fm⊥bc于m，fn⊥bd于n，试利用上述结论求出fm+fn的长。
2）类比与推理。
如果把“等腰三角形”改成“等到边三角形”，那么p的位置可以由“在底边上任一点”
放宽为“在三角形内任一点”，即：
已知等边△abc内任意一点p到各边的距离分别为，等边△abc的高为h，试证明：（定值）。
3）拓展与延伸。
若正n边形a1a2…an内部任意一点p到各边的距离为，请问是否为定值，如果是，请合理猜测出这个定值。
4、类比学习：一动点沿着数轴向右平移3个单位，再向左平移2个单位，相当于向右平移1个单位．用实数加法表示为 3+（）1．
若坐标平面上的点作如下平移：沿x轴方向平移的数量为a（向右为正，向左为负，平移个单位），沿y轴方向平移的数量为b（向上为正，向下为负，平移个单位），则把有序数对叫做这一平移的“平移量”；“平移量”与“平移量”的加法运算法则为．
解决问题：1）计算：+；
2）①动点p从坐标原点o出发，先按照“平移量”平移到a，再按照“平移量”
1，2}平移到b；若先把动点p按照“平移量”平移到c，再按照“平移量”
3，1}平移，最后的位置还是点b吗？ 在图1中画出四边形oabc.
证明四边形oabc是平行四边形。
3）如图2，一艘船从码头o出发，先航行到湖心岛码头p（2，3），再从码头p航行到码头q（5，5），最后回到出发点o. 请用“平移量”加法算式表示它的航行过程．
5、如图1至图5，⊙o均作无滑动滚动，⊙o1、⊙o2、⊙o3、⊙o4均表示⊙o与线段ab或bc相切于端点时刻的位置，⊙o的周长为c．
阅读理解：1）如图1⊙o从⊙o1的位置出发，沿ab滚动到⊙o2的位置，当ab=c时⊙o恰好自转1周．
2）如图2，∠abc相邻的补角是n°，⊙o在∠abc外部沿a-b-c滚动，在点b处，必须由⊙o1的位置旋转到⊙o2的位置，⊙o绕点b旋转的角∠o1bo2 = n°，⊙o在点b处自转周．
实践应用：1）在阅读理解的（1）中，若ab=2c，则⊙o自转周；若ab=l，则⊙o自转周．在阅读理解的（2）中，若∠abc= 120°，则⊙o在点b处自转周；若∠abc= 60°，则⊙o在点b处自转周．
2）如图3，∠abc=90°，ab=bc=c．⊙o从⊙o1的位置出发，在∠abc外部沿a-b-c滚动到⊙o4的位置，⊙o自转周．
拓展联想：1）如图4，△abc的周长为l，⊙o从与ab相切于点d的位置出发，在△abc外部，按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与ab相切于点d的位置，⊙o自转了多少周？请说明理由．
2）如图5，点d的位置出发，在多边形外部，按顺时针方向沿多边形滚动，又回到与该边相切于点d的位置，直接写出⊙o自转的周数．
6、请阅读，完成证明和填空．
九年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组**发现的结果，内容如下：
1）如图12-1，正三角形中，在边上分别取点，使，连接，发现，且．请证明：．
2）如图12-2，正方形中，在边上分别取点，使，连接，那么 ，且度．
3）如图12-3，正五边形中，在边上分别取点，使，连接，那么 ，且度．
4）在正边形中，对相邻的三边实施同样的操作过程，也会有类似的结论．请大胆猜测，用一句话概括你的发现。
7、在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．
小辉同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．
1）请你将的面积直接填写在横线上。
思维拓展：2）我们把上述求面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为、、（请利用图的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的，并求出它的面积．
探索创新：3）若三边的长分别为、、（且），试运用构图法求出这三角形的面积．
已知：等边的边长为．
**（1）：如图１，过等边的顶点依次作的垂线围成求证：是等边三角形且；
**（2）：
在等边内取一点，过点分别作垂足分别为点
1 如图2，若点是的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：
结论1．；结论2．；
如图3，若点是等边内任意一点，则上述结论是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．
9、观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 ；根据此规律，如果（为正整数）表示这个数列的第项，那么。
2）如果欲求的值，可令。
将式两边同乘以3，得。
由②减去式，得。
3）用由特殊到一般的方法知：若数列，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为，则 （用含的代数式表示），如果这个常数，那么 （用含的代数式表示）．
10、如图12，平面内有公共端点的六条射线，，，从射线开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1，2，3，4，5，6，7，…．
1）“17”在射线上．（3分）
2）请任意写出三条射线上数字的排列规律．（3分）
3）“2007”在哪条射线上？（3分）
11、阅读以下材料，并解答以下问题．
完成一件事有两类不同的方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第二类方案中有n种不同的方法．那么完成这件事共有n＝ m ＋ n种不同的方法，这是分类加法计数原理；完成一件事需要两个步骤，做第一步有m种不同的方法，做第二步有n种不同的方法．那么完成这件事共有n＝m×n种不同的方法， 这就是分步乘法计数原理． ”如完成沿图1所示的街道从a点出发向b点行进这件事(规定必须向北走，或向东走)， 会有多种不同的走法，其中从a点出发到某些交叉点的走法数已在图2填出．根据以上原理和图2的提示， 算出从a出发到达其余交叉点的走法数，将数字填入图2的空圆中，并回答从a点出发到b点的走法共有多少种？运用适当的原理和方法算出从a点出发到达b点，并禁止通过交叉点c的走法有多少种？（3） 现由于交叉点c道路施工，禁止通行． 求如任选一种走法，从a点出发能顺利开车到达b点(无返回)概率是多少？
12、图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为．
图1 图2 图3 图4
如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数，则最底层最左边这个圆圈中的数是 ；（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数，，，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．
13、数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．例如，求1＋3＋5＋7＋…＋2n－1的值，其中n是正整数．
对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n的奇偶性进行讨论．如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1＋3＋5＋7＋…＋2n－1的值，方案如下：如图，图案是由上到下每条折线内依次分别为1，3，5，7，…，2n－1个※排列组成的．而组成整个正方形※的个数恰为所。
求式子1＋3＋5＋7＋…＋2n－1的值．
因为组成正方形的※共有n 行，每行有n个，所以共有（n×n）个，即n2 个．
1＋3＋5＋7＋…＋2n－1）＝n×n＝n2 ．
问题解决：1）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求2＋4＋6＋8＋…＋2n的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）
2）试设计另外一种图形，求2＋4＋6＋8＋…＋2n的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）
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