23题答案

如图①，在锐角△abc中，d、e分别是ab、bc的中点，点f在ac上，且满足∠afe=∠a，dm∥ef交ac于点m.

1)证明：dm=da；

2)点g在be上，且∠bdg=∠c，如图②，求证：△deg∽△ecf；

3)在图②中，取ce上一点h，使得∠cfh=∠b，若bg=1，求eh的长。

答案】证明：(1)∵dm∥ef，∠amd=∠afe.

∠afe=∠a，∠amd=∠a，dm=da.

2) ∵d、e分别是ab、bc的中点，de∥ac，∠deg=∠c，∠bde=∠a，∠bde=∠afe.

∠bdg+∠gde=∠c+∠fec.

∠bdg=∠c，∠edg=∠fec,△deg∽△ecf.

3)如图所示，∠bdg=∠c=∠deb，∠b=∠b，△bdg∽△bed.，即。

∠a=∠afe，∠b=∠cfh，∠c=180°-∠afe-∠cfh=∠efh.

又∵∠feh=∠cef，△efh∽△ecf.，即。

de∥ac， dm∥ef，四边形defm是平行四边形，ef=dm=ad=bd.

be=ec,eh=bg=1.

解法2：如图所示，在dg上取一点n，使得dn=fh.

∠a=∠afe，∠abc=∠cfh，∠ c=∠bdg，∠efh=180°-∠afe-∠cfh=∠ c=∠bdg.

de∥ac， dm∥ef，四边形defm是平行四边形，ef=dm=ad=bd.

△bdn∽△efh，be=eh，∠bnd=∠ehf，∠bng=∠fhc.

∠bdg=∠c，∠dbg=∠cfh，∠bgd=∠fhc，∠bng=∠bgd，bn=bg.

eh=bg=1.

解法：3：如图所示，取ac的中点p，连接pd、pe、ph，则pe∥ab.

∠pec=∠b，∠cfh=∠b，∠pec=∠cfh.

又∵∠c=∠c，△cep∽△cfh，.

△cef∽△cph，∠cfe=∠chp.

由（2）可得∠cfe=∠dge，∠chp=∠dge，ph∥dg.

d、p分别为ab、ac的中点，dp∥gh，dp==be，四边形dghp是平行四边形，dp=gh=be.

eh=bg=1.

解法4：如图所示，作△ehf的外接圆交ac于另一点p，连接pe、ph.

则∵∠hpc=∠hef，∠fhc=∠cpe，∠b=∠cfh，∠c=∠c，∠a=∠chf，∠a=∠cpe.

pe∥ab.

de∥ac，四边形adep是平行四边形，de=ap=，de=cp.

∠gde=∠cef，∠deb=∠c，∠gde=∠cph，△deg≌△pch，ge=hc，eh=bg=1.

解法5：如图所示，取ac的中点p，连接pd、pe、ph.

则pe∥ab.

∠pec=∠b.

又∵∠cfh=∠b，∠pec=∠cfh，又∵∠c=∠c，△cep∽△cfh，.

△cef∽△cph，∠cef=∠cph.

由（2）可得∠cef=∠edg，∠c=∠deg.

d、e分别为ab、ac的中点，de==pc，△deg≌△pch，ge=hc，eh=bg=1.

1)初步尝试。

如图1，若△abc是等边三角形，dh⊥ac，且点d、e的运动速度相等．

求证：hf＝ah＋cf．

小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题：

思路一：过点d作dg∥bc，交ac于点g，先证gh＝ah，再证gf＝cf，从而证得结论成立；

思路二：过点f作em⊥ac，交ac的延长线于点m，先证cm＝ah，再证hf＝mf，从而证得结论成立．

请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程(如用两种方法作答，则以第一种方法评分)：

2)类经**。

如图2，若在△abc中，∠abc＝90°，∠adh＝∠bac＝30°，且点d、e的运动速度之比是∶1，求的值；

3)延伸拓展。

如图3，若在△abc中，ab＝ac，∠adh＝∠bac＝36°，记＝m，且点d、e的运动速度相等，试用含m的代数式表示(直接写出结果，不必写解答过程)．

答案】解析】

1)证明方法一(选择思路一)

过点d作dg∥bc，交ac于点g，如图1，△abc是等边三角形，∠adg＝∠b＝60°，∠a＝60°，△adg是等边三角形，gd＝ad＝ce，dh⊥ac，gh＝ah，dg∥bc，∴∠gdf＝∠cef，∠dgf＝∠ecf，△gdf≌△cef，∴gf＝cf，gh＋gf＝ah＋cf，即hf＝ah＋cf．

方法(选择思路二)：

过点e作em⊥ac，交ac的延长线于点m，如图1，△abc是等边三角形，∠a＝∠acb＝∠ecm＝60°，dh⊥ac，em⊥ac，∠ahd＝∠cme＝90°，ad＝ce，△adh≌△cem，ah＝cm，dh＝em，又∵∠dhf＝∠emf＝90°，∠dfh＝∠efm，△dfh≌△efm，hf＝mf＝cm＋cf＝ah＋cf．

2)解：过点d作dg∥bc，交ac于点g，如图2，则∠adg＝∠b＝90°，∠bac＝∠adh＝30°，∠hgd＝∠hdg＝60°，ah＝gh＝gd，ad＝gd，由题意可知，ad＝ce，gd＝ce，dg∥bc，∴∠gdf＝∠cef，∠dgf＝∠ecf，△gdf≌△cef，∴gf＝cf，gh＋gf＝ah＋cf，即hf＝ah＋cf．

其思路是这样的，如图所示，过点d作dm∥be交ac于点m．

由∠a＝∠adh＝36°，ab＝ac，易得ah＝hd＝dm，△mhd∽△adm∽△abc，所以，所以mh＝m·md，由dm∥be，ad＝ec，得，所以mf＝m·fc，所以=

2015山东省德州市，23，10分）

1)问题。如图1，在四边形abcd中，点p为ab上一点，∠dpc=∠a=∠b=90°.

求证：ad·bc=ap·bp.

2)**。如图2，在四边形abcd中，点p为ab上一点，当∠dpc=∠a=∠b=θ时，上述结论是否依然成立？说明理由。

3)应用。请利用(1)(2)获得的经验解决问题：

如图3，在△abd中，ab=6，ad=bd=5.点p以每秒1个单位长度的速度，由点a出发，沿边ab向点b运动，且满足∠dpc=∠a.设点p的运动时间为t（秒），当以d为圆心，以dc为半径的圆与ab相切，求t的值。

答案】解：(1)证明：如图1

∠dpc=∠a=∠b=90°，∠adp+∠apd=90°,bpc+∠apd=90°,∠apd =∠bpc.

△adp∽△bpc.

ad·bc=ap·bp.

2)结论ad·bc=ap·bp 仍成立。

理由：如图2，∵∠bpd=∠dpc+∠bpc.

又∵∠bpd=∠a+∠adp.

∠dpc+∠bpc =∠a+∠adp.

∠dpc =∠a=θ.

∠bpc =∠adp.

又∵∠a=∠b=θ.

△adp∽△bpc.

ad·bc=ap·bp.

3)如图3，过点d作de⊥ab于点e.

ad=bd=5,ab=6.

ae=be=3.由勾股定理得de=4.

以d为圆心，以dc为半径的圆与ab相切。

dc=de=4.

bc=5-4=1,又∵ad=bd,∠a=∠b.

由已知，∠dpc =∠a，∠dpc =∠a=∠b.

由（1）、（2）的经验可知ad·bc=ap·bp.

又ap=t,bp=6-t,t(6-t)=5×1.

解得t1=1,t2=5.

t的值为1秒或5秒。

2015安徽，23，14分）如图1，在四边形abcd中，点e、f分别是abcd的中点。过点e作ab的垂线，过点f作cd的垂线，两垂线交于点g，连接ga、gb、gc、gd、ef.若∠agd=∠bgc.

1)求证：ad=bc;

2)求证：△agd∽△egf;

3)如图2，若ad、bc所在直线互相垂直，求的值。

答案】(1)略(2)略(3)

解析】解：(1)证明：∵ge是ab的垂直平分线，∴ga=gb.同理gd=gc.

在△acd和△bgc中，∵ga=gb,∠agd=∠bgc,cd=gc,∴△agd≌△bgc,∴ad=bc.

2)证明：∵∠agd=∠bgc,∴∠agb=∠dgc.

在△agb和△dgc中， ,agb=∠dgc,∴△agb∽△dgc.

.又∠age=∠dgf,∴∠agd=∠egf,∴△agd∽△egf

3)解：如图1,延长ad交gb于点m,交bc的延长线于点h,则ah⊥bh.由△agd≌△bgc,知∠gad=∠gbc,在△gam和△hbm中， ∠gad=∠gbc ,∠gma=∠hmb.

∠agb=∠ahb=90°,∴age=∠agb=45°,∴

又△agd∽△egf,∴

本小题解法有多种，如可按图2和按图3作辅助线求解，过程略)