第23讲空间角与距离（2）答案。
课前热身】1、c 2、a 3、b 度π
例题**】例1: （i）证明：∵
△pac是以∠pac为直角的直角三角形，同理可证。
pab是以∠pab为直角的直角三角形，△pcb是以∠pcb为直角的直角三角形。
故pa⊥平面abc又∵而。
故cf⊥pb,又已知ef⊥pb
pb⊥平面cef
ii）由（i）知pb⊥ce, pa⊥平面abc
ab是pb在平面abc上的射影，故ab⊥ce
在平面pab内，过f作ff1垂直ab交ab于f1，则ff1⊥平面abc，ef1是ef在平面abc上的射影，∴ef⊥ec
故∠feb是二面角b—ce—f的平面角。
二面角b—ce—f的大小为。
例2．解法一：（1）∠pmd为二面角p－mn－d的平面角。……4分。
计算得二面角p－mn－d的大小为120°。…8分。
2）①若∠cdn＝90°，与题意不符………10分。
若∠dcn＝90°，可算得………12分。
若∠dnc＝90°，可算得………15分。
解法二：用向量方法(略)
例3：（1）当
证明：取pd中点e，则ef//cd，且。
四边形abfe为平行四边形。
bf//ae. 又ae平面pad ∴bf//平面pad
2）平面abcd，即是二面角的平。
面角 为等腰直角三角形，
平面pcd 又bf//ae，平面pcd.平面pbc，平面pcd⊥平面pbc，即二面角b—pc—d的大小为90°.
3）在平面pcd内作eh⊥pc于点h，由平面pcd⊥平面pbc且平面pcd
平面pbc=pc知：eh⊥平面pbc.
在，在代入得：
即点e到平面pbc的距离为
又点a到平面pbc的距离为。
冲刺强化训练 23
1、c 2 、a 3、 c 4、b 5、a 6、
7．方法一：①∵m、n分别是点ab、pc的中点，可得=1/2 （+由于·=1/2（+）1/2（·+0
mn⊥cd mn⊥dp ∴mn⊥平面pcd =>平面mnd⊥平面pcd
∵底面的法向量为，得平面mnd的法向量为=λ+
a2+μa2=0
=（λ1/2 （+1/2 （|2+λ·1/2 （a2+λa2）=0 ∴λm= —1
= —cos二面角n—md—c为60
解法二：①连pm、mc 易得pm=mc 又n为pc的中点，∴mn⊥pc
取dc的中点为q。连mq ，nq 则nq//pd mq//ad
pa⊥面abcd，又da⊥cd 由三垂线定理的逆定理得pd⊥cd
nq⊥cd，mq⊥cdcd⊥面mnq ∴cd⊥mn
mn⊥平面pcd ，mn 面mnd平面mnd⊥平面pcd。
1 连ac取ac的中点o，则no⊥平面abcd
过o作oe⊥dm 连ne 由三垂线定得得ne⊥dm
∠neo为二面角n—md—c的平面角。
其中no=pa=a； ac= a dm= a
oe= tan∠neo=
∠neo=60°，即二面角n—md—c为60°
8．方案一：
ⅰ）证明：∵pa⊥面abcd，cd⊥ad，由三垂线定理得：cd⊥pd.
因而，cd与面pad内两条相交直线ad，pd都垂直，cd⊥面pad.
又cd面pcd，∴面pad⊥面pcd.
ⅱ）解：过点b作be//ca，且be=ca，则∠pbe是ac与pb所成的角。
连结ae，可知ac=cb=be=ae=，又ab=2，所以四边形acbe为正方形。 由pa⊥面abcd得∠peb=90°
在rt△peb中be=，pb=，
ⅲ）解：作an⊥cm，垂足为n，连结bn.
在rt△pab中，am=mb，又ac=cb，△amc≌△bmc,bn⊥cm，故∠anb为所求二面角的平面角。
cb⊥ac，由三垂线定理，得cb⊥pc，在rt△pcb中，cm=mb，所以cm=am.
在等腰三角形amc中，an·mc=， ab=2，
故所求的二面角为。
方法二：因为pa⊥pd，pa⊥ab，ad⊥ab，以a为坐标原点ad长为单位长度，如图建立空间直角坐标系，则各点坐标为。
a（0，0，0）b（0，2，0），c（1，1，0），d（1，0，0），p（0，0，1），m（0，1，.
ⅰ）证明：因。
由题设知ad⊥dc，且ap与ad是平面pad内的两条相交直线，由此得dc⊥面pad.
又dc在面pcd上，故面pad⊥面pcd.
ⅱ）解：因。
ⅲ）解：在mc上取一点n（x，y，z），则存在。使。要使。
为所求二面角的平面角。
9． 解法一：
1 设=，
令=λ=0）=—
依题得：·=0 ，·0，·=1/2 a2
22—λ 2—λ/2）a2 =0
所以λ=1/2 ，即点m为bc的中点。
2 设点h为点c在平面amc1上的射影。
令=且x+y+z=1
由又由。得，点c到平面amc1的距离为a
3 平面amg的法向量为。
平面ac1c的法向量为，其中n为ac的中点，
则二面角m—ac1—c为45°
解法二：2 ∵c1c⊥面abc； c1m⊥am 由三垂线定理的逆定理解cm⊥am
△abc为正三角形，am为△abc的中线，即点m为bc的中点。
利用等积法 vc—amc1=vc1—amc 可得c到平面amc1的距离为a
过m作me⊥ac，垂足为e，过e作ef⊥ac1交ac1于点f，连mf，则∠efm为二面角m—ac1—c的平面角，易得∠efm=45°
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