2016新课标高考压轴卷。
理科数学解析。
一、 选择题。
1、已知集合，则集合的子集个数为（ ）
a．8 b．4 c．3 d．2
答案：b解析：，有2个元素，子集个数为个。
2、复数z1，z2在复平面内对应的点关于直线y=x对称，且，则（ ）
a．13i b．-13i c．13+12i d．12+13i
答案：a解析：依题意。
3、甲乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲乙两人每人的两旁都空座，则有多少种坐法（ ）
a．10 b．16 c．20 d．24
答案：c解析：考查插空法，8个位置6个空档，6中选3
4、已知公差不为0的等差数列满足成等比数列，若sn表示前n项和，则。
a．－2 b．－3 c．2 d．3
答案：c解析：若首项为a，则。
消元得25、过椭圆的左焦点f1作x轴的垂线交椭圆于点p，f2为右焦点，若，则椭圆的离心率为（ ）
a．1/2 b． c．3/1 d．
答案：d解析：
故。6、中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示，若π取3，其体积为12.6，则图中的x为（ ）
a．1.2 b．1.6 c．1.8 d．2.4
答案：b解析：圆柱与长方体的组合。
7、按右图所示的程序框图，若输入a=110011，则输出的b=（
a．45 b．47 c．49 d．51
答案：d解析：二进制转化为十进制。
也可以先转为&h33，再转为16×3+3＝51
8、函数的图像关于x=a对称，则a可能是。
a． b． c． d．
答案：a解析：若则f(x)关于x=a对称。
代入并使用诱导公式即可。
9、已知函数，则关于x的不等式的解集为（ ）
a． b． c． d．
答案：a解析：奇函数单调递增。
因此。10、已知实数x,y满足，若目标函数z=-mx+y的最大值为-2m+10，最小值为-2m-2则实数m的取值范围是。
a．[－2，1] b．[－1，3] c．[－1，2] d．[2，3]
答案：c解析：三点试代法。
故有。11、过双曲线的右支上一点p，分别向圆作切线，切点分别为m,n，则的最小值为（ ）
a．10 b．13 c．16 d．19
答案：b解析：
根据定义知。
的最小值为焦距2c＝8
因此题目所求为2×8－3＝13
12、已知函数存在单调递减区间，且的图像在x=0处的切线与曲线相切，符合情况的切线有（ ）
a．3条 b．2条 c．1条 d．不存在。
答案：d解析：导函数。
当a<0时，无单调递减区间。
当a>0时函数存在极值，故切线。
设直线与的切点为，则。
消元得。令，
由零点分析可知零点，故。
二、 填空题。
13、已知，则展开式中的系数为___
答案：－80
解析：定积分a=2，
14、f1,f2分别为椭圆的左右焦点，a为椭圆上一点，且，，则___
答案：6解析：考查向量不等式。
15、过球o表面上一点a引三条长度相等的弦ab,ac,ad，且两两夹角都是60，若球半径为r，求弦ab的长度为___
答案： 解析：考查正四面体的性质。
外接球半径，故。
16、设数列是首项为0的递增数列，，满足：总有两个不同的根，则的通项公式为___
解析：考查推演能力。故。故。
故。依次类推，，累加法求通项得。
三、 解答题。
17、如图，点p在△abc内，ab=cp=2,bc=3,.
1）试用α表示ap的长；
2）求四边形abcp的面积最大值，并写出此时α取值。
解析：由余弦定理得。
整理得。故，舍去－3
四边形面积最大值为2，此时。
18、近年来我国电子商务行业迎来蓬勃发展的新机遇，2023年双11期间，某购物平台的销售业绩高达918亿人民币，与此同时，相关管理部门推出了针对电商的商品和服务的评价体系。现从评价系统中选出200次成功交易，并对其评价进行统计，对商品的好评率为0.6，对服务的好评率为0.
75，其中对商品和服务均好评的交易为80次。
i）是否可以在犯错概率不超过0.1%的前提下，认为商品好评和服务好评有关？
ii）若将频率视为概率，某人在该购物平台上进行的5次购物中，设对商品和服务全好评的次数为随机变量x：
1)求对商品和服务全好评的次数x的分布列；
2)求x的数学期望和方差。
解析：依题意得商品和服务评价的2×2列联表（特殊）
有99.9%把握。
每次购物对商品和服务都好评的概率为80/200=2/5
随机变量x~b(5,2/5)，因此，
分布列略。19、如图，在四棱锥p-abcd中，pc⊥底面abcd，abcd是直角梯形，ab⊥ad,ab⊥cd,ab=2ad=2cd=2，e为pb的中点。
1）求证：平面eac⊥平面pbc；
2）若二面角p-ac-e的余弦值为，求直线pa与平面eac所成角的正弦值。
解析：（1）pc⊥底面abcd上的ac边。
直角梯形abcd中。
综上，ac⊥平面pbc，故经过ac的平面eac⊥平面pbc
2）以c为原点建系，设cd为x轴，cp为z轴，且cp=a，则。
由（1）知bc是平面pac的一个法向量。
设平面eac的法向量为m，则。
解得。解得a=1，则。
即为所求夹角正弦。
20、已知抛物线，过其焦点作斜率为1的直线交抛物线于m,n两点，且mn=16。
1）求抛物线的标准方程；
2）已知动圆p的圆心在抛物线上，且过定点d(0,4)，若动圆p与x轴交于a,b两点，且da解析：抛物线焦点弦长。
因此。设，则。
圆的方程。令y=0，整理得。
解得。依题意知（圆心不在原点），故时比值取最小值。
21、已知函数。
1）试确定t的取值范围，使得函数在上单调；
2）求证：总存在满足，并确定这样的的个数。
解析：（1）
单调区间。因此，函数在上单调递减。
2）化简不等式得，令。
即讨论函数g(x)在区间上零点个数。
注意， 当时，故g(x)有唯一零点。
以下考查区间端点：
当t=1时，x=0或x=1，区间上只有一个零点x=0
当t=4时，x=-2或x=3，区间上只有一个零点x=3
注意：当时，，故有两个零点。
综上，总存在满足，且当时，有唯一的；当时，有两个。
23、（本小题满分10分）选修4-4 坐标系与参数方程。
在直角坐标系xoy中，圆c的参数方程为，以o为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系。
1）求圆c的极坐标方程；
2）直线的极坐标方程是，射线om：与圆c的交点为o,p，与直线的交点为q，求线段pq的长。
解析：首先转化为直角方程。
典型圆的极坐标方程为。
联立射线与直线得。
联立射线与圆解得。
因此pq＝2
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