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2024年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）学科网。
数学ⅰ试题。
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参考公式：学。
锥体的体积公式： v锥体=sh，其中s是锥体的底面积，h是高。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位置上。学科网。
1、设集合a=，b=,a∩b=，则实数a
解析] 考查集合的运算推理。3b, a+2=3, a=1.
2、设复数z满足z(2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为。
解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i与3+2 i的模相等，z的模为2。
3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ ▲
解析]考查古典概型知识。
4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲_根在棉花纤维的长度小于20mm。
解析]考查频率分布直方图的知识。
5、设函数f(x)=x(ex+ae-x)(xr)是偶函数，则实数a
解析]考查函数的奇偶性的知识。
g(x)=ex+ae-x为奇函数，由g(0)=0，得a=－1。
6、在平面直角坐标系xoy中，双曲线上一点m，点m的横坐标是3，则m到双曲线右焦点的距离是。
解析]考查双曲线的定义。，为点m到右准线的距离， =2，mf=4。
7、右图是一个算法的流程图，则输出s的值是。
解析]考查流程图理解。输出。
8、函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5
解析]考查函数的切线方程、数列的通项。
在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，所以。
9、在平面直角坐标系xoy中，已知圆上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是**。
解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2，圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，，的取值范围是（-13，13）。
10、定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为p，过点p作pp1⊥x轴于点p1，直线pp1与y=sinx的图像交于点p2,则线段p1p2的长为。
解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段p1p2的长即为sinx的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=。线段p1p2的长为。
11、已知函数，则满足不等式的x的范围是__▲
解析] 考查分段函数的单调性。
12、设实数x,y满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是**。
解析] 考查不等式的基本性质，等价转化思想。，的最大值是27。
13、在锐角三角形abc，a、b、c的对边分别为a、b、c，则。
解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。
方法一）考虑已知条件和所求结论对于角a、b和边a、b具有轮换性。
当a=b或a=b时满足题意，此时有：， 4。
方法二），
由正弦定理，得：上式=
14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记，则s的最小值是。
解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。
设剪成的小正三角形的边长为，则：
方法一）利用导数求函数最小值。
当时，递减；当时，递增；
故当时，s的最小值是。
方法二）利用函数的方法求最小值。
令，则： 故当时，s的最小值是。
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤。
15、（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xoy中，点a(－1,－2)、b(2,3)、c(－2,－1)。
1)求以线段ab、ac为邻边的平行四边形两条对角线的长；
2)设实数t满足()·0，求t的值。
解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。满分14分。
1）（方法一）由题设知，则。
所以。故所求的两条对角线的长分别为、。
方法二）设该平行四边形的第四个顶点为d，两条对角线的交点为e，则：
e为b、c的中点，e（0，1）
又e（0，1）为a、d的中点，所以d（1，4）
故所求的两条对角线的长分别为bc=、ad=；
2）由题设知： =2,－1)，。
由()·0，得：，从而所以。
或者：， 16、（本小题满分14分）
如图，在四棱锥p-abcd中，pd⊥平面abcd，pd=dc=bc=1，ab=2，ab∥dc，∠bcd=900。
1)求证：pc⊥bc；
2)求点a到平面pbc的距离。
解析] 本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。满分14分。
1）证明：因为pd⊥平面abcd，bc平面abcd，所以pd⊥bc。
由∠bcd=900，得cd⊥bc，又pddc=d，pd、dc平面pcd，所以bc⊥平面pcd。
因为pc平面pcd，故pc⊥bc。
2）（方法一）分别取ab、pc的中点e、f，连de、df，则：
易证de∥cb，de∥平面pbc，点d、e到平面pbc的距离相等。
又点a到平面pbc的距离等于e到平面pbc的距离的2倍。
由（1）知：bc⊥平面pcd，所以平面pbc⊥平面pcd于pc，因为pd=dc，pf=fc，所以df⊥pc，所以df⊥平面pbc于f。
易知df=，故点a到平面pbc的距离等于。
方法二）体积法：连结ac。设点a到平面pbc的距离为h。
因为ab∥dc，∠bcd=900，所以∠abc=900。
从而ab=2，bc=1，得的面积。
由pd⊥平面abcd及pd=1，得三棱锥p-abc的体积。
因为pd⊥平面abcd，dc平面abcd，所以pd⊥dc。
又pd=dc=1，所以。
由pc⊥bc，bc=1，得的面积。
由，，得，故点a到平面pbc的距离等于。
17、（本小题满分14分）
某兴趣小组测量电视塔ae的高度h(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆bc的高度h=4m，仰角∠abe=，∠ade=。
1)该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出h的值；
2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时， -最大？
解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。
1），同理：，。
ad—ab=db，故得，解得：。
因此，算出的电视塔的高度h是124m。
2）由题设知，得，（当且仅当时，取等号）
故当时，最大。
因为，则，所以当时， -最大。
故所求的是m。
18、（本小题满分16分）
在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为a、b，右焦点为f。设过点t（）的直线ta、tb与椭圆分别交于点m、，其中m>0,。
1）设动点p满足，求点p的轨迹；
2）设，求点t的坐标；
3）设，求证：直线mn必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。
解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和**问题的能力。满分16分。
1）设点p（x，y），则：f（2，0）、b（3，0）、a（-3，0）。
由，得化简得。
故所求点p的轨迹为直线。
2）将分别代入椭圆方程，以及得：m（2，）、n（，）
直线mta方程为：，即，直线ntb 方程为：，即。
联立方程组，解得：，所以点t的坐标为。
3）点t的坐标为。
直线mta方程为：，即，直线ntb 方程为：，即。
分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，解得：、。
当时，直线mn方程为：
令，解得：。此时必过点d（1，0）；
当时，直线mn方程为：，与x轴交点为d（1，0）。
所以直线mn必过x轴上的一定点d（1，0）。
或者以下解法：
19、（本小题满分16分）
设各项均为正数的数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列。
1）求数列的通项公式（用表示）；
2）设为实数，对满足的任意正整数，不等式都成立。求证：的最大值为。
解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、分析及论证的能力。满分16分。
1）由题意知：，
化简，得：
当时，，适合情形。
故所求。2），恒成立。
又，故，即的最大值为。
或以下解法：
20、（本小题满分16分）
设是定义在区间上的函数，其导函数为。如果存在实数和函数，其中对任意的都有》0，使得，则称函数具有性质。
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二 解答题 本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明 证明或演算步骤。15.本小题满分14分 在平面直角坐标系中，o为坐标原点，三点满足。1 求证 三点共线 2 已知的最小值为，求的值。16.本小题满分14分 已知直角梯形中，过作，垂足为，分别为的中点，现将沿折叠，...