2023年高考总复习资料（四） 函数的基本性质1——单调性与奇偶性。
第一部分：函数的单调性。
知识体系构建】
一、函数的单调性及单调区间——是高中数学中最活跃的部分。
1、画出一次函数f(x)=x和二次函数f(x)=x2的图像，并判断其增减性。
2、函数单调性和单调区间定义：
1）如果对于任意的x1、x2∈（a,b），当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说f（x）在这个区间（a,b）上是增函数，区间（a,b）叫做这个函数的单调递增区间。如图（1）
2）如果对于任意的x1、x2∈（a,b），当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说f（x）在这个区间（a,b）上是减函数，区间（a,b）叫做这个函数的单调递减区间。如图（2）
3）如果函数y=f(x)在某区间上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有（严格的）单调性，该区间叫做函数y=f(x)的单调区间。
因此，函数的单调区间分为单调增区间和单调减区间（即x的取值范围）
3、函数单调性指的是某个区间上的性质，是定义域中的一部分；要说函数是增函数则必须在整个定义域内递增；函数在每个区间上递增也未必是增函数，如y= 1/x。
4、判断函数单调性的基本方法：
定义法，即比较法：
例：判断函数y=2x+3的单调性。
图象法：利用图像看出函数的单调性和单调区间。
5、一些常用的结论：
1）函数y=-f(x)与函数y=f(-x)的单调性相反。
2）函数y=f(x)+c与函数y=f(x)的单调性相同。
3）当c>0时，函数y=cf(x)与函数y=f(x)的单调性相同，当c<0时，函数y=cf(x)与函数y=f(x)的单调性相反。
4）若f(x) 0,则函数f(x)与具有相反的单调性。
5）若f(x) 0，则函数f(x)与具有相同的单调性。
6）在公共定义域内：
增函数增函数是增函数，如。
减函数减函数是减函数，如。
增函数减函数是增函数，如。
减函数增函数是减函数，如。
二、函数的最大（小）值。
1、引例1：
思考1：这两个函数图像有何共同特征：函数图像上最高点的纵坐标叫什么名称？
图像均有最高点，图像最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值。
思考2：高函数y=f(x)图像上最高点的纵坐标为m，则对函数定义域内任意自变量x,f(x)与m的大小关系如何？
对函数定义域内任意自变量x，均有f(x) m成立。
思考3：设函数f(x)=1-,则f(x) 2成立吗？f(x)的最大值是2吗？为什么？
f(x) 2成立，但f(x)的最大值不是2,因为找不到一个自变量x.,使得f(x)=2成立。
思考4：怎样定义函数f(x)的最大值？用什么符号表示？
2、函数最大值的定义：
一般地，设函数f(x)的定义域为i，如果存在实数m满足：
1）对于任意的xi，都有f(x) m；
2）存在x0i,使得f(x0)=m.
那么，我们称m是函数y=f(x)的最大值（maximum value）
注：最大值是函数值域中的一个元素，函数图像上有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图像上的点，因此若f(x)的值域是（a,b），则f(x)没有最大值。
3、引例2：
思考1：这两个函数图像上各有一个最低点，函数图像上最低点的纵坐标叫什么名称？
函数图像上最低点的纵坐标称为函数的最小值。
思考2：仿照函数最大值的定义，怎样定义函数f(x)的最小值？
4、函数最小值的定义。
一般地，设函数f(x)的定义域为i，如果存在实数m满足：
1）对于任意的xi，都有f(x) m；
2）存在x0i,使得f(x0)=m.
那么，我们称m是函数y=f(x)的最小值（minimum value）
注：最小值是函数值域中的一个元素，函数图像上有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图像上的点，因此若f(x)的值域是（a,b），则f(x)没有最小值。
5、几种函数的单调性和最值结论（必掌握！！！
1）正比例函数：f(x)=kx(k0)，当k>0时，f(x)在定义域r上为增函数；当k<0时，f(x)在定义域r上为减函数，在定义域r上不存在最值，在闭区间［a,b］上存在最值，当k>0时函数f(x)的最大值为f(b)=kb,最小值为f(a)=ka, 当k<0时， ,最大值为f(a)=ka，函数f(x)的最小值为f(b)=kb。
2）反比例函数：f(x)= k0)，在定义域（-，0）（0,+）上无单调性，也不存在最值。当k>0时，在（-，0），（0,+）为减函数；当k<0时，在（-，0），（0,+）为增函数。
在闭区间［a,b］上，存在最值，当k>0时函数f(x)的最小值为f(b)=,最大值为f(a)=,当k<0时， 函数f(x)的最小值为f(a)=，最大值为f(b)=。
3）一次函数：f(x)=kx+b(k0),在定义域r上不存在最值，当k>0时，f(x)为r上的增，当k<0时，f(x)为r上的减函数，在闭区间［m,n］上，存在最值，当k>0时函数f(x)的最小值为f(m)=km+b,最大值为f(n)=kn+b, 当k<0时， 函数f(x)的最小值为f(n)=kn+b，最大值为f(m)=km+b。
4）二次函数：f(x)=ax+bx+c,当a>0时，f(x)在（-,为减函数，在（-，为增函数，在定义域r上有最小值f(-)无最大值。
当a<0时，f(x)在（-,为增函数，在（-，为减函数，在定义域r上有最大值f(-)无最小值。
题型体系构建】
一、利用定义法证明函数的单调性并确定单调区间。
例1：证明函数f(x)=x+x在r上是单调增函数。
例2：证明函数f（x）= 在定义域上是减函数。
例3：讨论函数f(x)=的单调性。
例4：讨论函数f(x)＝在x (-1,1)上的单调性，其中a为非零常数。
二、利用常用结论和常用函数的性质判断单调性：
例：在区间上为增函数的是。
a． b．
cd． 三、利用图像判断函数单调性和最值。
例：函数，单调递减区间为最大值和最小值的情况为 。
四、抽象函数的单调性和最值。
例：已知函数f(x)对任意x,yr,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x＞0时，f(x)＜0,f(1)=-
1）求证：f(x)在r上是减函数。
2）求f(x)在［-3，3］上的最大值和最小值。
五、利用函数的单调性比较函数值的大小。
例1：如果函数f(x)=x+bx+c,对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),比较f(1)，f(2)，f(4)的大小。
例2 ：已知函数y=f(x)在［0,+）上是减函数，试比较f()与f(a-a+1)的大小。
六、利用函数的单调性解不等式。
例1：已知f(x)是定义在r上的单调函数，且f(x)的图像过点a(0,2),和点b(3,0)
1）解方程 f(x)=f(1-x2) 解不等式 f(2x) (3) 求适合f(x) 2或f(x) 0的x的取值范围。
例2：f(x)是定义在( 0，＋∞上的增函数，且f() f(x)－f(y)
1）求f(1)的值．
2）若f(6)= 1，解不等式 f( x＋3 )－f() 2 ．
七、利用函数的单调性求参数的取值或取值范围。
例1：函数在实数集上是增函数，则。
a． b． c． d．
例2：已知f(x)=x-2(1-a)x+2在（-，4）上是减函数，求实数a的取值范围。
例3：若f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，且f(m－1)－f(1－2m)＞0，求实数m的取值范围．
八、单调性概念问题与基本不等式的性质综合考察。
例1：已知在区间(－∞上是减函数，若，则下列正确的是。
a． b．
c． d．
例2：已知函数f(x)是r上的增函数，a(0，－1)、b(3，1)是其图象上的两点，那么不等式|f(x＋1)|＜1的解集的补集是。
a．(－1，2b．(1，4)
c．(－1]∪[4d．(－1]∪[2，＋∞
第二部分：函数的奇偶性。
知识体系构建】
1、画出一次函数f(x)= x2和二次函数f(x)=x3的图像，结合图形的对称特征，总结函数的性质。
2、函数奇偶性的定义。
1）偶函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫偶函数。例如：函数，等都是偶函数。
2）奇函数：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫奇函数。例如：函数，都是奇函数。
3）奇偶性：如果函数是奇函数或偶函数，那么我们就说函数具有奇偶性。
3、函数奇偶性的补充说明。
1）其定义域必须关于原点对称，即定义域关于原点对称是函数奇偶性的前提条件。
2）判断函数奇偶性的步骤：首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算，看是等于还是等于，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。
3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数，如。
4）函数既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足也满足。
5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于轴对称，反过来，如果一个函数的图形关于轴对称，那么这个函数是偶函数。
6）① 奇函数f(x)若在时有定义，则； ②f(x)为偶函数f(x)=f(|x|)
4、奇偶函数图象的性质。
1）奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。
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