2024年中考数学试卷分类。
猜想、规律与探索。
一选择题。1. （2011浙江省，10，3分）如图，下面是按照一定规律画出的“数形图”，经观察可以发现：
图a2比图a1多出2个“树枝”， 图a3比图a2多出4个“树枝”， 图a4比图a3多出8个“树枝”，…照此规律，图a6比图a2多出“树枝”（
a.28 b.56c.60 d. 124
答案】c3. （2011广东肇庆，15，3分）如图5所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去，则第（是大于0的整数）个图形需要黑色棋子的个数是。
答案】4. （2011内蒙古乌兰察布，18，4分）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形有个小圆。 （用含 n 的代数式表示）
答案】或。5. （2011湖南益阳，16，8分）观察下列算式：
1）请你按以上规律写出第4个算式；
2）把这个规律用含字母的式子表示出来；
3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．
答案】解：⑴；
答案不唯一。如；
6．（2011广东汕头，20，9分）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答。
1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数的平方，第8行共有个数；
2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n行共有个数；
3）求第n行各数之和．
解】（1）64，8，15；
（3）第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×7-13；类似的，第n行各数之和等于=.
二填空题。1. （2011四川绵阳18，4）观察上面的图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第___个图形共有120 个。
答案】152. （2011广东东莞，10，4分）如图(1) ，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形afbdce，它的面积为1，取△abc和△def各边中点，连接成正六角星形a1f1b1d1c1e1，如图(2)中阴影部分；取△a1b1c1和△1d1e1f1各边中点，连接成正六角星形a2f2b2d2c2e 2f 2，如图(3) 中阴影部分；如此下去…，则正六角星形anfnbndncne nf n的面积为 .
答案】3. （2011湖南常德，8，3分）先找规律，再填数：
答案】4. （2011广东湛江20,4分）已知：,观察前面的计算过程，寻找计算规律计算直接写出计算结果），并比较 （填“”或“”或“=”
答案】三解答题。
1. （2011山东济宁，18，6分）观察下面的变形规律：
解答下面的问题：
1）若n为正整数，请你猜想。
2）证明你猜想的结论；
3）求和：＋＋
答案】（1） 1分。
2）证明3分。
3）原式＝1－＋－
5分。2. （2011湖南邵阳，23，8分）数学课堂上，徐老师出示了一道试题：
如图（十）所示，在正三角形abc中，m是bc边（不含端点b，c）上任意一点，p是bc延长线上一点，n是∠acp的平分线上一点，若∠amn=60°，求证：am=mn。
1）经过思考，小明展示了一种正确的证明过程，请你将证明过程补充完整。
证明：在ab上截取ea=mc，连结em，得△aem。
∠1=180°-∠amb-∠amn，∠2=180°-∠amb -∠b，∠amn=∠b=60°
又∵cn、平分∠acp，∴∠4=∠acp=60°。
∠mcn=∠3+∠4=120°。…
又∵ba=bc，ea=mc，∴ba-ea=bc-mc，即be=bm。
△bem为等边三角形，∴∠6=60°。
由①②得∠mcn=∠5.
在△aem和△mcn中，△aem≌△mcn（asa）。
am=mn.
2)若将试题中的“正三角形abc”改为“正方形a1b1c1d1”(如图)，n1是∠d1c1p1的平分线上一点，则当∠a1m1n1=90°时，结论a1m1=m1n1是否还成立？（直接给出答案，不需要证明）
3）若将题中的“正三角形abc”改为“正多边形anbncndn…xn”，请你猜想：当∠anmnnn=__时，结论anmn=mnnn仍然成立？（直接写出答案，不需要证明）
答案】解：（1）∠5=∠mcn，ae=mc，∠2=∠1；
2）结论成立；
3. （2011四川成都，23,4分）设， ,
设，则s用含n的代数式表示，其中n为正整数)．答案】．
s=++接下去利用拆项法即可求和．
4. （2011四川内江，加试5，12分）同学们，我们曾经研究过n×n的正方形网格，得到了网格中正方形的总数的表达式为12+22+32+…+n2．但n为100时，应如何计算正方形的具体个数呢？下面我们就一起来**并解决这个问题．首先，通过**我们已经知道0×1+1×2+2×3+…+n—1)×n=n(n+1)(n—1)时，我们可以这样做：
1)观察并猜想：
2)归纳结论：
12+22+32+…+n2=(1+0)×1+(1+1)×2+(1+2)×3+…+1+(n—1)]n
1+0×1+2+1×2+3+2×3+…+n+(n一1)×n
3)实践应用：
通过以上**过程，我们就可以算出当n为100时，正方形网格中正方形的总个数是。
答案】（1+3）×4
1+2+3+…+n
0×1+1×2+2×3++…n-1)×n
n(n+1)(n—1)
n(n+1)(2n+1)
5. （2011广东东莞，20，9分）如下数表是由从1 开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答。
1）表中第8行的最后一个数是 ，它是自然数的平方，第8行共有个数；
2）用含n的代数式表示：第n行的第一个数是 ，最后一个数是 ，第n行共有个数；
3）求第n行各数之和．
解】（1）64，8，15；
（3）第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×7-13；类似的，第n行各数之和等于=.
6. （2011四川凉山州，19，6分）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例。如图，这个三角形的构造法则：
两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律。例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着展开式中的系数等等。
1）根据上面的规律，写出的展开式。
2）利用上面的规律计算：
答案】解：⑴ ⑵原式=
注：不用以上规律计算不给分。
7. （2011四川凉山州，20，7分）如图，是平行四边形的对角线上的点，，请你猜想：线段与线段有怎样的关系？并对你的猜想加以证明。
答案】猜想： 。
证明： ∵四边形abcd是平行四边形 在和。即。
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