课程考核。
参***及评分标准。
考试课程：泛函分析学年学期： 2010-2011-2试卷类型：a考试时间：120分钟。
适用专业：数学与应用数学专业 2008级本科班层次：本科。
一、单项选择题（每小题3分，共15分）
1 (a)；2 (d)；3 (b)；4 (c)；5 (c) .
二、判断题（每小题3分，共15分）
三、填空题（每小题4分，共20分）
1、完备的赋范线性空间；2、；3、 当时，必有； 4、 闭子空间； 5、,取等号时当且仅当与线性相关。
四、证明题（每小题10分，共50分）
1、 证明：由是实内积空间有。
4分）4分）
两式相减，并整理得。
2分）2、 证明：由条件可知，又因为2分）4分）故当时2分）
所以即2分）
3、证明：若有界，则，故当时有。
即，因此连续5分）
反之，若在连续，但无界，这时必有中一列向量，使，但。
令，则，所以，由的连续性，得。
但由是线性算子，有，这与矛盾，故是有界算子5分）4、证明：记。
定义到内的映射。设，则2分）
5分）由于，于是是完备度量空间中的压缩映射，有唯一的不动点，于是有。
因此方程有唯一解3分）
5、证明：显然是线性空间2分）
下证是赋范线性空间。，1）显然，且当且仅当，即。
2）为任意实（复）数。
3分）最后证是banach空间。
设是中的cauchy点列，其中，则对，当时有。
即a)于是，进而有。
所以是中的cauchy点列，由于是banach空间，故。
在(a)中让有。
故收敛于，而易知，故是banach空间5分）
泛函分析》作业答案汇总 修改
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