教材过关十八勾股定理。
一、填空题。
1.一个直角三角形的三边长是不大于10的三个连续偶数，则它的周长是。
答案：24提示：根据勾股定理，两直角边的平方和等于斜边的平方，设其中一条直角边为x，另两条分别为(x-2)，(x+2),则有(x-2)2+x2=(x+2)2，解得x=0或x=8，x=0不合题意舍去，所以三边长为，周长为24.
2.在△abc中，若ab=17,ac=8,bc=15,则根据可知∠acb
答案：勾股定理逆定理 90°
提示：勾股定理逆定理是判定一个角是直角的重要方法，ac2+bc2=82+152=289=172=ab2，根据勾股定理的逆定理说明ab的对角是90度。
3.一座垂直于两岸的桥长15米，一艘小船自桥北头出发，向正南方向驶去，因水流原因，到达南岸后，发现已偏离桥南头9米，则小船实际行驶了米。
答案：3提示：桥长、偏离桥南头的距离、实际行驶的路程构成一个直角三角形，利用勾股定理，可得实际行驶的路程的平方=152+92=306，所以实际行驶了3米。
4.若三角形中相等的两边长为10 cm,第三边长为16 cm,则第三边上的高为cm.
答案：6提示：等腰三角形三线合一，底边上的高也是底边的中线，所以底边的一半为8，则高为==6.
5.如图8-41,矩形abcd,ab=5 cm,ac=13 cm,则这个矩形的面积为cm2.
图8-41答案：60
提示：根据勾股定理求出bc的长，bc2=132-52=144，则bc=12，面积为5×12=60.
6.等边三角形的边长为4,则其面积为。
答案：4提示：根据勾股定理求出高为=2，面积为底×高×=4×=4.
7.如图8-42,在高3米，坡面线段距离ab为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度至少需米。
图8-42答案：7
提示：由勾股定理求出另一直角边为4，将楼梯表面向下和右平移，则地毯的总长=两直角边的和=3+4=7.
8.若+|a-12|+(b-5)2=0,则以a、b、c为三边的三角形是三角形。
答案：直角。
提示：满足a2+b2=c2.
二、选择题。
9.下列是勾股数的一组是。
a.4,5,6b.5,7,12c.12,13,15d.21,28,35
答案：d提示：满足a2+b2=c2的正整数是勾股数，只有212+282=352，所以选d.
10.下列说法不正确的是。
a.三个角的度数之比为1∶3∶4的三角形是直角三角形。
b.三个角的度数之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形。
c.三边长度之比为3∶4∶5的三角形是直角三角形。
d.三边长度之比为5∶12∶13的三角形是直角三角形。
答案：b提示：三个角的度数之比中有两个之和等于另一个，可以判定是直角三角形，另外两边的平方和=第三边的平方，也可以判定是直角三角形，三个角的度数之比为3∶4∶5的三角形，三个角分别是45度、60度和75度，不是直角三角形。
11.一个圆桶底面直径为24 cm,高32 cm,则桶内所能容下的最长木棒为。
a.20 cmb.50 cmc.40 cmd.45 cm
答案：c提示：根据勾股定理，最长木棒长的平方=242+322，解得40 cm.
12.一职工下班后以50米/分的速度骑自行车沿着东西马路向东走了5.6分，又沿南北马路向南走了19.2分到家，则他的家离公司距离为米。
a.100b.500c.1 240d.1 000
答案：d提示：由于东西方向与南北方向互相垂直，两段路程与家离公司距离形成直角三角形，根据勾股定理求得家离公司距离==1 000米。
三、解答题。
13.如图8-43，在四边形abcd中，ab=12 cm,bc=3 cm,cd=4 cm,∠c=90°.
图8-431)求bd的长；
2)当ad为多少时，∠abd=90°?
1)答案：5.
提示：在△bdc中，∠c=90°，bc=3 cm，cd=4 cm，根据勾股定理，bd2=bc2+cd2，求得bd=5 cm.
2)答案：13.
提示：根据勾股定理的逆定理，三角形两边的平方和等于斜边的平方，则三角形是直角三角形，所以ad=13时，可满足ad2=bd2+ab2，可说明∠abd=90°，ad==13.
14.有一块土地形状如图8-44所示，∠b=∠d=90°,ab=20米，bc=15米，cd=7米，请计算这块地的面积。
图8-44答案：234米2.
提示：连结ac，将四边形分割成两个三角形，其面积为两个三角形的面积之和，根据勾股定理求出ac，进而求出面积为ab×bc+ad×cd=234米2.
15.甲、乙两船上午11时同时从港口a出发，甲船以每小时20海里的速度向东北方向航行，乙船以每小时15海里的速度向东南方向航行，求下午1时两船之间的距离。
图8-45答案：50海里。
提示：东北方向航行，东南方向航行，则夹角为90度，根据勾股定理，相距= =50.
16.已知：a、b、c为△abc的三边，且满足a2c2-b2c2=a4-b4,试判断△abc的形状。
解：∵a2c2-b2c2=a4-b4,①
c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2).②
c2=a2+b2.③
△abc是直角三角形。
问：1)在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号。
2)错误的原因为。
3)本题正确的解题过程：
答案：(1)③ 2)除式可能为零。
3)∵a2c2-b2c2=a4-b4,c2(a2-b2)=(a2+b2)(a2-b2).
a2-b2=0或c2=a2+b2.
当a2-b2=0时，a=b；
当c2=a2+b2时，∠c=90度，△abc是等腰三角形或直角三角形。
提示：(1)(2)两边都除以a2-b2,而a2-b2的值可能为零，由等式的基本性质，等式两边都乘以或除以同一个不为0的整式，等式仍然成立。
3)根据等式的基本性质和勾股定理，分情况加以讨论。
17.一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图8-46所示的某工厂，问这辆卡车能否通过厂门(厂门上方为半圆形拱门)?说明你的理由。
图8-46提示：如图，作厂门的对称轴，求出pr的长，只要pr＞车高2.5，就说明卡车能通过厂门。
在rt△opq中，由勾股定理得pq==0.6米，pr=0.6+2.3=2.9＞2.5.
这辆卡车能通过厂门。
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