2024年理科高考导数汇编。
1．如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中随机撒一粒黄豆，则他落到阴影部分的概率为___
答案】解析】
试题分析：由对数函数与指数函数的对称性，可得两块阴影部分的面积相同。 .所以落到阴影部分的概率为。
考点：1.几何概型。2.定积分。
2．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是。
a． b． c． d．
答案】c解析】
试题分析：当时，，函数有两个零点和，不满足题意，舍去；当时，，令，得或．时，；时，；时，，且，此时在必有零点，故不满足题意，舍去；当时，时，；时，；时，，且，要使得存在唯一的零点，且，只需，即，则，选c．
考点：1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性．
3．当时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
a． b． c． d．
答案】c解析】
试题分析：当x=0时，原式恒成立；
当时，原式等价于恒成立；
当时，原式等价于恒成立；
令，，令，即，，可知为y的增区间，为y的减区间，所以当时，即时，t=1时，即；当时，即时，y在上递减，在上递增，所以t=-1时，即；综上，可知a的取值范围是，故选c.
考点：不等式恒成立问题。
4．已知函数与图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是（ ）
a. b. c. d.
答案】b解析】试题分析：由题可得存在满足。
令，因为函数和在定义域内都是单调递增的，所以函数在定义域内是单调递增的，又因为趋近于时，函数且在上有解(即函数有零点),所以，故选b.
考点：指对数函数方程单调性。
5．已知函数的导函数为偶函数，且曲线在点处的切线的斜率为。
1）确定的值；
2）若，判断的单调性；
3）若有极值，求的取值范围。
答案】（1）；（2）增函数；（3）.
解析】试题分析：（1）由。
因为是偶函数，所以，又曲线在点处的切线的斜率为，所以有，利用以上两条件列方程组可解的值；
2）由（1），，当时，利用的符号判断的单调性；
3）要使函数有极值，必须有零点，由于，所以可以对的取值分类讨论，得到时满足条件的的取值范围。
解：（1）对求导得，由为偶函数，知，即，因，所以。
又，故。2）当时，，那么。
故在上为增函数。
3）由（1）知，而，当时等号成立。
下面分三种情况进行讨论。
当时，对任意，此时无极值；
当时，对任意，此时无极值；
当时，令，注意到方程有两根，
即有两个根或。
当时，；又当时，从而在处取得极小值。
综上，若有极值，则的取值范围为。
考点：1、导数的几何意义及导数在研究函数性质中的应用；2、分类讨论的思想。
6．已知函数，若在上的最小值记为。
1）求；2）证明：当时，恒有。
答案】（1）；（2）详见解析。
解析】试题分析：（1）因为，对实数分类讨论，①，分别用导数法求函数单调区间，从而确定的值，再用分段函数表示；（2）构造函数，对实数分类讨论，①，分别用导数法求函数单调区间，从而确定的最大值，即可证明当时恒有成立。
1）因为，当时，若，则，，故在上是减函数；
若，则，，故在上是增函数；
所以，.当，则，，，故在上是减函数，所以，综上所述，.
2）令，当时，若，得，所以在上是增函数，所以在上的最大值是，且，所以，故。
若，，则，所以在上是减函数，所以在上的最大值是，令，则，所以在上是增函数，所以即，故，当时，，所以，得，此时在上是减函数，因此在上的最大值是，故，综上所述，当时恒有。
考点：函数最大（最小）值的概念，利用导数研究函数的单调性。
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