椭圆的简单几何性质。
任课老师---韦正状。
精题精讲。例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形．
解：把已知方程化成标准方程。
所以，因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为，离心率，两个焦点分别为，椭圆的四个顶点是，将已知方程变形为，根据，在的范围内算出几个点的坐标：
先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆：
例2在同一坐标系中画出下列椭圆的简图，并求出顶点坐标和离心率。
答：简图如下：
例3分别在两个坐标系中，画出以下椭圆的简图并比较它们的离心率。
答：简图如下：
例4写出下列椭圆的准线方程：（1） (2)
解：⑴方程可化为 ，是焦点在轴上且，的椭圆。
所以此椭圆的准线方程为
方程是焦点在轴上且，的椭圆。
所以此椭圆的准线方程为
例5. 分别求出符合下列条件的椭圆的标准方程。
1）椭圆过(3，0)点，离心率e=。
2）过点（3，-2）且与椭圆有相同焦点。
3）长轴长与短轴长之和为10，焦距为。
4）中心在原点，离心率为，准线方程为。
5）中心在原点，对称轴在坐标轴上，x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离是。
解】 当椭圆的焦点在x轴上时，a=3,=,c=.从而b2=a2－c2=9－6=3,椭圆的方程为=1.
当椭圆的焦点在y轴上时，∵b=3,=,a2=27.
椭圆的方程为=1.
所求椭圆的方程为=1或=1.
例6求满足下列条件的椭圆的离心率。
1）若椭圆两准线间的距离是该椭圆焦距的2倍。
2）若椭圆的一个顶点与它的两个焦点构成的三角形是等边三角形。
3）设为椭圆的两个焦点，以为圆心过椭圆中心的圆与椭圆有一个交点m，若直线与圆相切。
4）若分别为椭圆的左、右焦点，p是以为直径的圆与椭圆的一个交点，且。
例7已知椭圆与轴的正半轴交于a,o是原点，若椭圆上存在一点m,使ma⊥mo,求椭圆离心率的取值范围。
例8椭圆上有一点p，它到椭圆的左准线距离为10，求点p到椭圆的右焦点的距离。
解：椭圆的离心率为，根据椭圆的第二定义得，点p到椭圆的左焦点距离为。
再根据椭圆的第一定义得，点p到椭圆的右焦点的距离为20－8＝12
例9设分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，求证：
例10椭圆，其上一点p(3,)到两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆方程。
解：由椭圆的焦半径公式，得。
解得，从而有
所求椭圆方程为
例11已知椭圆的中心在原点，长轴在x轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程。
例12已知是椭圆的两个焦点，点p是椭圆上一点。
1） 若，求的面积；
2） 若为钝角，求点p横坐标的取值范围。
例13已知椭圆内一点p（1，-1），f是椭圆的右焦点，点m在椭圆上，（1）求点m坐标，使最小；（2）求点m坐标，使最大。
解：a(,0)，设m点的坐标为（），由ma⊥mo得。
化简得 所以
例14把下列参数方程化为普通方程，普通方程化为参数方程。
解：(1)
例15已知椭圆上的点p(),求的取值范围。
解：＝例16已知直线l与椭圆相交于a、b两点，弦ab中点坐标（1，1），求及直线l的方程。
例17已知椭圆。
1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
2）过引椭圆的割线，求截得得弦的中点轨迹方程；
3） 求过点，且被平分的弦所在的直线方程。
例18已知中心在原点，一个焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，求此椭圆的方程。
例19已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线被椭圆截得的弦ab的长为，且ab的中点c与椭圆中心的连线的斜率为，求这个椭圆的方程。
例20已知椭圆上有两个不同点关于直线对称，求m的取值范围。
基础达标。1.椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标是（ ）
a.(－1,0)、(1,0b.(－6,0)、(6,0)
c.(－0)、(0d.(0,－)0,)
答案】 d2.已知点（m，n）在椭圆8x2+3y2=24上，则2m+4的取值范围是（ ）
a.[4-2,4+2b.[4-,4+]
c.[4-2,4+2d.[4-,4+]
解析】由8x2+3y2=24得=1.∴-m≤,4-2≤2m+4≤4+2.
答案】 a3.椭圆25x2+9y2=225的长轴上、短轴长、离心率依次是（ ）
a.5，3，0.8 b.10，6，0.8 c.5，3，0.6 d.10，6，0.6
解析】把椭圆的方程写成标准方程：=1，知a=5，b=3，c=4.∴2a=10，2b=6，=0.8.
答案】b4.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，则此椭圆的设心率是（ ）
a. b. c. d.
解析】∵椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形，∴a=2c，=.
答案】d5.已知椭圆+=1与椭圆+=1有相同的长轴，椭圆+=1的短轴长与椭圆+=1的短轴长相等，则（ ）
或a2=9,b2=
解析】 ∵椭圆+=1的长轴长为10，焦点在x轴上，椭圆+=1的短轴长为6，∴a2=25,b2=9.
答案】 d6.已知椭圆c：+=1与椭圆+=1有相同离心率，则椭圆c的方程可能是（ ）
a.+=m2(m≠0b.+=1
c. +1d.以上都不可能。
解析】 把方程+=m2写成+=1,则a2=8m2,b2=4m2,c2=4m2,∴=e==,而椭圆+=1的离心率为。
答案】 a7.椭圆＝1（a＞b＞0）的准线方程是（ ）
.yx＝±解析】 ∵椭圆焦点在y轴上，且c=
椭圆的准线方程为y=±.
答案】 ｂ8.若椭圆上的点p到焦点的距离最小，则p点是（ ）
a.椭圆的短轴的端点 b.椭圆的长轴的一个端点。
c.不是椭圆的端点 d.以上都不对。
答案】b9.已知椭圆=1(a>b>0)的两准线间的距离为，离心率为，则椭圆方程为（ ）
a.=1 b.=1c.=1d.=1
解析】 由=,=得a2=16,b4=4.
答案】 d10.两对称轴都与坐标轴重合，离心率e=0.8，焦点与相应准线的距离等于的椭圆的方程是（ ）
a.=1或=1
b.=1或=1
c.+=1d.=1
解】 设所求椭圆的方程为。
1(a＞b＞0)
或=1(a＞b＞0).
由题意，得。
解这个方程组，得。 ∴所求椭圆的方程为：=1或=1.
答案】 a11.已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点到右准线的距离为，中心到准线的距离为，则椭圆的方程为（ ）
a.+y2=1b.+y2=1c.+=1d.+=1
解析】 由－(－c)=,得a2=4,b2=1.
答案】 a12.椭圆=的离心率为（ ）
abcd.无法确定。
解析】 由=知e=.
答案】 b椭圆上一点的坐标可设为(acos,bsin).
答案】 a13.设o是椭圆的中心，p是椭圆上对应于=的点，那么直线op的斜率为（ ）
abcd.解析】 当=时， ∴kop=.
答案】 d14.点（2，3）对应曲线(θ为参数)中参数θ的值为（ ）
c.2kπ+(k∈z) d.2kπ+(k∈z)
解析】 由得，θ=2kπ+ k∈z).
答案】 d15.曲线(θ为参数)的准线方程为（ ）
答案】 a综合发展。
1.椭圆＋＝1与＋＝1（0＜k＜９）的关系为（ ）
a.有相等的长、短轴有相等的焦距。
.有相同的焦点有相同的准线。
解析】 ∵25－k－（９k）＝16，∴焦距相等。
答案】 ｂ2.椭圆的短轴的一个端点到一个焦点的距离为5，焦点到椭圆中心的距离为3，则椭圆的标准方程是（ ）
a.＋=1或＋=1b.＋=1或＋=1
c.＋＝1或＋=1d.椭圆的方程无法确定。
解析】 由题意，a=5,c=3,∴b2=a2－c2=25－9=16,椭圆的标准方程为＋＝1或＋=1.
答案】 c3.中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是（ ）
a.＋=1 b.＋=1 c.＋=1 d. ＋1
解析】 ∵2a=18,2c=×2a=6,∴a=9,c=3,b2=81－9=72.
答案】 a4.已知点（3，2）在椭圆＋=1上，则（ ）
a.点（－3，－2）不在椭圆上。
b.点（3，－2）不在椭圆上。
c.点（－3，2）在椭圆上。
d.无法判断点（－3，－2）、（3，－2）、（3，2）是否在椭圆上。
解析】 ∵点（3，2）在椭圆＋=1上，＋=1,∴=1. 即点(±3,±2)在椭圆＋=1上。
答案】 c5.已知椭圆的对称轴是坐标轴，o为坐标原点，f是一个焦点，a是一个顶点，若椭圆的长轴长是26，cosofa=，则椭圆的方程是（ ）
a.=1b.=1
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