一、填空题。
1．(2010·江苏连云港市高考模拟)若椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为f1，f2，线段f1f2被抛物线y2＝2bx的焦点f分成5∶3的两段，则此椭圆的离心率为___
答案：2．已知椭圆中心在原点，一个焦点为f(－2，0)，且长轴长是短轴长的2倍，则该。
椭圆的标准方程是。
解析：设椭圆的标准方程是＋＝1(a＞b＞0)．由题意知，解得。
∴标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
3．(南京市高三调研)过椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点a作斜率为1的直线，与椭圆的。
另一个交点为m，与y轴的交点为b，若am＝mb，则该椭圆的离心率为___
解析：a点坐标为(－a,0)，l的方程为y＝x＋a，所以b点的坐标为(0，a)，故m点的。
坐标为，代入椭圆方程得a2＝3b2，∴c2＝2b2，∴e＝.
答案：4．(苏锡常镇四市高三教学情况调查)若椭圆＋＝1(m，n>0)的离心率为，一个焦点。
恰好是抛物线y2＝8x的焦点，则椭圆的标准方程为___
解析：由题意得：焦点坐标为(2,0)，∴c＝2，∵＝a＝4，∴m＝a2＝16，n＝b2＝a2－c2＝12，∴椭圆的标准方程为＋＝1.
答案：＋＝1
5．(盐城市高三第一次调研)设a，f分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点与右焦点，若在其右准线上存在点p，使得线段pa的垂直平分线恰好经过点f，则该椭圆的离心。
率的取值范围是___
解析：根据题意知，点a(－a,0)，f(c,0)，右准线x＝，所以a＋c≥－c，即2c2＋
ac－a2≥0，故2e2＋e－1≥0，又0 答案：
6．(南通市高三期末调研)以椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点f(－c,0)为圆心，c为半径。
的圆与椭圆的左准线交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是___
解析：由条件得椭圆的左准线方程为x＝－，从而由 所以e∈.
答案：7．(江苏省启东中学高三质量检测) 已知f1、f2为椭圆+=1(a0)的左、右焦点，b为椭圆短轴的一个端点，·≥2，则椭圆的离心率的取值范围是___
解析：设b(0,b) ,f1＝(－c，0)，f2＝(c，0)，＝c，－b)，＝c，－b)，＝c，－b)，＝2c,0)，·b2－c2，因为2＝2c2，因为2＝2c2，因为·≥2＝2c2，因为2，所以b2－c2≥2c2，即b2≥3c2，所以a2≥4c2，所以e2≤，所以e∈.
答案：二、解答题。
8．设p是椭圆＋y2＝1(a>1)短轴的一个端点，q为椭圆上的一个动点，求pq的最大。
值．解：依题意可设p(0,1)，q(x，y)，则pq＝.又因为q在椭圆上，所以x2
＝a2(1－y2)pq2＝a2(1－y2)＋y2－2y＋1＝(1－a2)y2－2y＋1＋a2＝(1－a2)(y－)2－
＋1＋a2.
因为|y|≤1，a>1，若a≥，则||≤1，当y＝时，pq取最大值；
若19．(2010·东台中学高三诊断)已知曲线c1的方程为x2＋2x＋y2－4y＝0.
(1)设c1与x轴的两个交点分别为一椭圆的中心和焦点，并且椭圆的一条准线恰好是曲。
线c1的一条切线，求此椭圆的标准方程；
(2)如果c1上存在两点p，q关于直线2x＋my＋4＝0对称，求m的值；
(3)设o(0,0)，求出在(2)的条件下，且满足op·oq＝的直线pq的方程．
解：(1)圆与x轴的交点为(－2,0)，(0,0)
故c＝2，＝＋1或＝－1<2不可能，a2＝2＋2，b2＝2－2，椭圆方程为＋＝1.
(2)直线2x＋my＋4＝0过圆心，从而m＝－1.
(3)设pq：x＋2y＋n＝0，与圆的方程联立得5y2＋4(n－2)y＋n2－2n＝0，x1x2＋y1y2＝，解得n＝1或n＝4.经检验，适合．
所以直线pq的方程为x＋2y＋1＝0或x＋2y＋4＝0.
10．(苏州市高三教学调研)如图：已知点p(4,4)，圆c：(x－m)2＋y2＝5(m<3)与椭圆e：
＋＝1(a>b>0)有一个公共点a(3,1)，f1、f2分别是椭圆的左、右焦点，直线pf1与。
圆c相切．(1)求m的值与椭圆e的方程；
(2)设点q为椭圆e上的一个动点，求·的取值范围．
解：(1)将点a代入圆c方程，得(3－m)2＋1＝5.
m<3，∴m＝1.∴圆c：(x－1)2＋y2＝5.
设直线pf1的斜率为k，则pf1：y＝k(x－4)＋4，即kx－y－4k＋4＝0.∵直线pf1与圆c相切，∴＝解得k＝，或k＝.
当k＝时，直线pf1与x轴的交点横坐标为，不合题意，舍去．
当k＝时，直线pf1与x轴的交点横坐标为－4，∴c＝4，即f1(－4,0)，f2(4,0)．
2a＝af1＋af2＝5＋＝6，a＝3，a2＝18，b2＝2.椭圆e的方程为：
(2)＝(1,3)，设q(x，y)，＝x－3，y－1)，·x－3)＋3(y－1)＝x＋3y－6.
∵＋＝1，即x2＋(3y)2＝18，而x2＋(3y)2≥2|x|·|3y|，∴18≤6xy≤18.
而(x＋3y)2＝x2＋(3y)2＋6xy＝18＋6xy的取值范围是[0,36]．则x＋3y的取值范围是[－
∴··的取值范围是[－12,0]．
1． 设圆经过椭圆＋＝1的右顶点及右焦点，且圆心在椭圆上，则圆心到椭圆中心。
2． 的距离为___
解析：由方程＋＝1得a＝5，b＝4，c＝3，则右顶点及右焦点的坐标分别为(5,0)、
(3,0)，因此圆心在直线x＝4上，将x＝4代入＋＝1，可求得y＝±，即圆心坐标。
为(4，±)圆心到椭圆中心的距离d＝＝.
答案：2．(2010·高三大联考江苏卷)已知椭圆e的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过。
a(－2,0)，b(2,0)，c三点．
(1)求椭圆e的方程；
(2)若直线l：y＝k(x－1)(k≠0)与椭圆e交于m、n两点，证明：直线am与直线bn
的交点在直线x＝4上．
(1)解：设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0)，将a(－2,0)、b(2,0)、c代入。
椭圆e的方程，得解得m＝，n＝.∴椭圆e的方程为＋＝1.
(2)证明：证法一：将直线l：y＝k(x－1)代入椭圆e的方程＋＝1
并整理，得(3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.
设直线l与椭圆e的交点m(x1，y1)，n(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1＋x2＝，x1x2＝.
直线am的方程为：y＝(x＋2)，它与直线x＝4的交点坐标为p，同理可求得直线bn与直线x＝4的交点坐标为q.
下面证明p、q两点重合，即证明p、q两点的纵坐标相等：∵y1＝k(x1－1)，y2＝k(x2－1)，∴
＝＝＝0，因此结论成立．综上可知，直线am与直线bn的交点在直线x＝4上．
证法二：直线am的方程为：y＝(x＋2)，即y＝(x＋2)．
直线bn的方程为：y＝(x－2)，即y＝(x－2)．
由直线am与直线bn的方程消去y，得。
x＝＝＝＝＝4，∴直线am与直线bn的交点在直线x＝4上．
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