棣莫弗(de moivre)定理设两个复数(用三角形式表示)z1=r1(cosθ1+isinθ1) ,z2=r2(cosθ2+isinθ2),则：
z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)].
复数有多种表示形式，常用形式 z＝a＋bi 叫做代数式。
此外有下列形式。
几何形式。复数z＝a＋bi 用直角坐标平面上点 z（a，b ）表示。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。
向量形式。复数z＝a＋bi用一个以原点o为起点，点z（a，b）为终点的向量oz表示。这种形式使复数的加、减法运算得到恰当的几何解释。
三角形式。复数z＝a＋bi化为三角形式。
z＝r（cosθ＋sinθi）
式中r= sqrt(a^2+b^2)，叫做复数的模（或绝对值）；θ是以x轴为始边；向量oz为终边的角，叫做复数的辐角。这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。
指数形式。将复数的三角形式 z＝r( cosθ＋isinθ）中的cosθ＋isinθ换为 exp(iθ)，复数就表为指数形式z＝rexp(iθ)
例1．设复数的共轭复数是，且，又与为定点，则函数︱︱取最大值时在复平面上以，a,b三点为顶点的图形是。
a,等边三角形 b,直角三角形 c,等腰直角三角形 d,等腰三角形。
解： d 因为，可设，则。
当时， ,此时，则。
,所以=,得为等腰三角形。
例2．设a，b，c分别是复数z0=ai, z1=+bi, z2=1+ci(其中a,b,c都是实数)对应的不共线的三点．证明：曲线 z=z0cos4t+2z1cos2tsin2t+z2sin4t (tr) 与△abc中平行于ac的中位线只有一外公共点，并求出此点．
解：设，则。
实虚部分离，可得。
即 又因为a,b,c三点不共线，故，可知所给曲线是抛物线段(如图)
ab,bc的中点分别是，所以直线de的方程为。
由，联立得。
由于，得，注意到，所以，抛物线与。
平行于ac的中位线de有且只有一个公共点，此点的坐标为，其对应的。
复数为。一、含参数的一元二次不等式的讨论策略。
例1 解关于x的不等式。
分析：对含参数的一元二次不等式的讨论顺序一般为先讨论二次项系数，后对“△”进行讨论。需要的话还要对根的大小进行比较。
含参数的一元二次不等式与不含参数的一元二次不等式的解题过程实质是一样的，结合二次函数的图象、一元二次不等式分类讨论。
解：（1）当a=0时，原不等式的解集为。
（2）当a>0时，方程，△=4－4a。
①若△>0，即0所以原不等式的解集为。
若△=0，即a=1时，原不等式的解集为。
若△<0，即a>1时，原不等式的解集为r。
当a<0时，一定有△>0，方程两个解为，，且。
原不等式的解集为。
总结：对含参数的一元二次不等式的讨论，一般可分为以下三种情形：（1）当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，但不知道与之对应的一元二次方程是否有解时需要对判别式“△”进行讨论。
（2）当含参数的一元二次不等式的二次项系数为常数，且与之对应的一元二次方程有两解，但不知道两个解的大小，因此需要对解的大小进行比较。（3）当含参数的一元二次不等式的二次项系数含有参数时，首先要对二次项系数进行讨论，其次，有时要对判别式进行讨论，有时还要对方程的解的大小进行比较。
二、含参数的绝对值不等式的讨论方法。
例2 解关于x的不等式。
错解：。当时，解得。
当时，解得。
剖析：此解法没有对a作任何讨论，陷入了解不等式的思维混乱状态。解绝对值不等式的关键是去掉绝对值符号，由于a的范围不确定，所以解题时需对a进行分类讨论，特别注意解不等式时要考虑0≤a<4和a≥4两种情况。
正确解法：当a<0时，得。
当时，得①或②。
由①解得。由②得。
此时分类可知，若，解得。
若，此不等式无解。
综上，当a<0时，原不等式解集为r；
当时，原不等式解集为。
当时，原不等式解集为。
总结：解含绝对值不等式的基本思路：一是从定义出发，直接去掉绝对值符号；二是根据绝对值的定义通过分类讨论，特别是对不等式中对参数的讨论去掉绝对值符号，将原不等式转化为不含绝对值的不等式求解；三是数形结合，利用函数图象求解；四是将较复杂的绝对值不等式等价转化为最简单的绝对值不等式求解。
三、含参数的分式不等式的讨论方法。
例3 已知，解不等式。
分析：这是一个含参数的分式不等式，主要策略是化为不等式组讨论或转化为整式不等式讨论。
解：原不等式化为 ①
策略一：分式不等式的最基本形式是，对于任意一个分式不等式，应当首先用移项、通分转化为最基本形式。
1）当a=0时，原不等式为。
在①中，分子中x的系数含有字母a，分类讨论就从这里引起。
2）当a≠0时，原不等式化为。 ②
对于不等式②，分子中的系数a不能随意约去，因为根据不等式的性质，若给不等式两边同时乘以一个负数，不等式的方向要改变。
当a>0时，原不等式等价于。
由于，可解得。也可先确定两根，然后直接写出解集。
当a<0时，。
由。综上，当a=0时原不等式的解集为。
当a>0时，解集为。
当a<0时，解集为。
由以上几例可以看出，求解含参数的不等式（组）问题，与最简单的不等式的解法密切相关，也是分类讨论的出发点，若能紧紧抓住基础知识，将复杂问题分解为基本问题，就会理清思路，化繁为简，快速解题。
均值不等式。
1． 均值不等式定理及理解。
如果是正数，那么（当且仅当时取等号）
证明：，，即（当且仅当时取等号）
注：1）基本不等式：与均值不等式：两者的重要区别是前者，后者都是正数，这也是利用公式的重要前提条件。
2)如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．
3）分析不等式的结构，左式为和结构，右式为积的形式．该不等式表明两正数的和与两正数的积之间的大小关系，故也有人称此定理为和积不等式，运用该不等式可作和与积之间的不等变换．
4）均值不等式用几何意义理解：以长为直径作圆，在直径是任取一点，使，过作，由，故，因圆的半径不小于，因而得到，而是圆的半径，因此当且仅当与圆心重合时，为圆的半径，此时等号成立。
2．不等式的功能：均值不等式的功能除了用于比较数的大小及证明不等式之外，主要用于求函数的最值，它有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能。
1）当都是正数，且是定值时，则（定值），即当且仅当时取到“=”时有最小值；
2）当都是正数，且是定值时，则（定值），即当且仅当时取到“=”时有最大值；
3）创设均值不等式成立的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，因而正确掌握“一正、二定、三相等”是关键，即“一正”是指两数必为正数；“二定”是指必须和为定值或积为定值；“三相等”是考虑等号成立的条件（当且仅当时取到“=”
例1．已知且，求的最小值。
解： 当且仅当即时。
柯西不等式：设a1,a2,…an,b1,b2…bn均是实数，则有（a1b1+a2b2+…+anbn）2≤（a12+a22+…an2）（b12+b22+…bn2）等号当且仅当ai=λbi(λ为常数，i=1,2.3,…n)时取到。
二）、柯西不等式的应用。
柯西不等式是一个非常重要的不等式，其结构和谐，应用灵活广泛，灵活巧妙的运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，并且柯西不等式本身的证明方法也值得在不等式证明中借鉴。
使用一些方法构造符合柯西不等式的形式及条件，继而达到使用柯西不等式解决有关的问题。
1． 证明不等式。
利用柯西不等式证明某些不等式显得特别方便，而利用柯西不等式的技巧也有很多。如常数的巧拆、结构的巧变、巧设数组等，2． 求最值。
利用柯西不等式，可以方便地解决一些函数的最大值或最小值问题。
3、 在几何上的应用。
例1．△abc的三边长为a、b、c，其外接圆半径为r，求证：
证明：由三角形中的正弦定理得。
所以，同理，
于是左边=故原不等式获证。
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