实数（实数的概念、运算、及大小比较）
知识点1：实数分类1．无理数。
无限不循环小数叫做无理数。无理数也有正、负之分。只有符号不同的两个无理数，它们互为相反数。
方法（1），方法（2）
例1、下列各数中，哪些是非负有理数？哪些是无理数？哪些是分数？
0，，，3.14，例2、选择题。
下列说法正确的是（ ）
a无理数包括正无理数、0和负无理数 b无理数是用根号形式表示的数。
c无理数是无限不循环小数d无理数是开方开不尽的数。
注：有限小数、无限循环小数是有理数，可化为分数；无限不循环小数是无理数。
知识点2：实数的有关概念。
1）数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意1：上述规定的三要素缺一个不可，2：
实数与数轴上的点是一一对应的，3：数轴上任一点对应的数总大于这个点左边的点对应的数．）
2）相反数。
实数的相反数是一对数（只有符号不同的两个数，叫做互为相反数，零的相反数是零）．
注意：从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称．
3）绝对值。
注意：从数轴上看，一个数的绝对值就是表示这个数的点与原点的距离。
（4）倒数。
实数a（a≠0）的倒数是（乘积为1的两个数，叫做互为倒数）；
注意：零没有倒数．
知识点3：平方根、算术平方根、立方根。
若x2＝a，则x叫做a的平方根。记作，而正的平方根叫做算术平方根 。
求一个数a的平方根的运算叫做开平方，a叫做被开方数。
正数a的平方根为，其中表示a的正平方根（算术平方根），表示a的负平方根。零的平方根为零。要有意义，。
填空：当时。
当时。当时。
知识点4：零指数、负整指数幂。
a0＝1（a≠0）；（a≠0）
求一个数a的立方根的运算叫做开立方，a叫做被开方数。
实数都有立方根，而且只有一个立方根。正数的立方根为正数，零的立方根是零，负数的立方根是负数。
n次方根分为奇次方根和偶次方根。他们的性质借鉴平方根、立方根的性质。
例1、 填空。
的相反数等于它本身；
___的绝对值等于它本身；
___的倒数等于它本身；
___的平方等于它本身；
___的立方等于它本身；
___的平方根等于它本身的立方根等于它本身；
___的偶次方根等于它本身的奇次方根等于它本身；
49的平方根是___的正平方根是___
的负平方根是___的立方根是___
的平方根是___的算术平方根是___
是___的平方根；表示5的。
16的四次方根是___的5次方根是___
求下列各式的值。
当x为何值时，下列各式有意义？
练习：（1）如果y=++求y。
（2）当时，化简。
实数的运算法则。
1）加法。同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加；
异号两数相加。取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
任何数与零相加等于原数。
（2）减法
3）乘法。其中、为整数，）.
幂的运算性质：
设，，、为有理数，那么。
ⅲ），两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．即。
4）除法 5）乘方
6）开方如果x2＝a且x≥0，那么；如果x3＝a，那么。
在同一个式子里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减．有括号时，先算括号里面的．
实数的运算律：
（1）加法交换律 a＋b＝b＋a
（2）加法结合律 （a＋b）＋c＝a＋（b＋c）
（3）乘法交换律 ab＝ba．
（4）乘法结合律 （ab）c＝a（bc）
（5）分配律 a（b＋c）＝ab＋ac
知识点9：实数的大小比较（常见的方法－数轴比较法；差值比较法；商值比较法；绝对值比较法）1、计算：
2、计算（结果用幂的形式表示）：
3、利用幂的运算性质计算：
概念：（1）准确数：完全符合实际地表示一个量多少的数；
（2）近似数：与准确数达到一定接近程度的数；
（3）精确度：对近似程度的要求；
（4）有效数字：对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字为止的所有数字，叫做这个近似数的有效数字。
典型例题讲解】
例1 判断题：
1）两有理数的和、差、积、商是有理数；
2）有理数与无理数的积是无理数；
3）有理数与无理数的和、差是无理数；
4）小数都是有理数；
5）零是整数，是有理数，是实数，是自然数；
6）任何数的平方是正数；
7）实数与数轴上的点一一对应；
8）两无理数的和是无理数。
解：（1）对（2）不对（3）对（4）不对（5）对（6）不对（7）对（8）不对。
例2 选择题：
1）如果a是实数，下列四种说法：
和都是正数，，那么ａ一定是负数，a的倒数是，a和的两个数表示的点分别在原点的两侧，其中正确的说法有（ ）
a. 0b. 1c. 2d. 3
2）下列说法中，正确的是（ ）
a. |m|与－m互为相反数
b. 与互为倒数。
c. 1998.8用科学记数法表示为1.9988×102
d. 0.4949用四舍五入法保留两个有效数字的近似值为0.50
3）近似数1.30所表示的准确数a的范围是（ ）
a. 1.25≤a＜1.35 b. 1.20＜a＜1.30
c. 1.295≤a＜1.305 d. 1.300≤a＜1.305
4）2024年全年国内生产总值按可比**计算，比上年增长9.5%，达到136515亿元，136515亿元用科学记数法表示（保留4个有效数字）为（ ）
a. 元b.元。
c. 元d.元。
abcb例3 填空题：
1）下列各数中：
有理数集合正数集合。
整数集合自然数集合。
分数集合无理数集合。
绝对值最小的数的集合。
2）无理数a满足不等式，请写出两个符合条件的无理数。
例4 有条件化简：
当1＜a＜2时，化简；
a，b，c为三角形的三边，化简；
如图，化简。
例5 无条件化简：
化简。通过计算，比较下列①——各组中两个数的大小（在横线上填“＞、号＝
2）对第（1）小题的结果进行归纳，猜想出nn＋1和（n＋1）n的大小关系是。
3）根据上面的归纳结果猜想得到的一般结论是：2004200520052004
解：（12）当n＜3时，nn＋1＜（n＋1）n
当n≥3时，nn＋1＞（n＋1）n
例7 计算：
例8 化简：
例9 若|a|＝3，，ab＜0，则a－b＝
1）当时。2）若互为相反数，则a2006a2007
例10 已知：值。
模拟试题】（答题时间：30分钟）
一。 选择题。
1. 下列说法正确的是（ ）
a. 无限小数都是无理数
b. 无理数都是无限小数。
c. 带根号的数都是无理数
d. 不带根号的数一定不是无理数。
2. 和数轴上的点一一对应的数是（ ）
a. 整数b. 有理数c. 无理数d. 实数。
3. 若2a与1－a互为相反数，则a等于（ ）
a. 1b. －1cd.
4. 当＝－a时，实数a在数轴上对应的点在（ ）
a. 原点右侧b. 原点左侧。
c. 原点或原点的右侧d. 原点或原点的左侧。
5. 代数式＋＋的所有可能的值有（ ）
a. 2个b. 3个c. 4个d. 无数个。
6. 下列命题中：（1）几个有理数相乘，如果负因数个数是奇数，则积必为负；
2）两数之积为1，那么这两数都是1或都是－1；
3）两个实数之和为正数，积为负数，则两数异号，且正数的绝对值较大；
4）一个实数的偶次幂是正数，那么这个实数一定大于零，其中错误的命题的个数是（ ）
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