从而k1 ＝k2 ＝…kt＝0，带入(3)有k0＝0.
所以 k0＝k1＝k2＝…＝kt＝0α，α1，α＋2，…，t线性无关。
或用秩）η1，η2，…，t线性无关，α是ax＝b的解α不能由η1，η2，…，t线性表出。
x1η1＋x2η2＋…＋xtηt ＝α无解r(η1，η2，…，t)≠r(η1，η2，…，t，α)
r(η1，η2，…，t) ＝tr(η1，η2，…，t，α)t＋1
r(α，1，α＋2，…，t)＝t＋1α，α1，α＋2，…，t线性无关。
ii)设β是ax＝b的任意一个解，则β－α是ax＝0的解。
从而 β－l1η1＋l2η2＋…＋ltηt .
＝α＋l1η1＋l2η2＋…＋lt ηtβ＝(1－l1 －l2 －…lt)α＋l1η1＋l2η2＋…＋lt ηt
即β可由α，α1，α＋2，…，t表出。
例题3】am×n，r(a)＝n，α1，α2，…，s是n维列向量。
证明：α1，α2，…，s线性无关的充分必要条件是aα1，aα2，…，aαs线性无关。
证】必要性（用定义）
设k1aα1＋k2aα2＋…＋ks aαs＝0，即a(k1α1＋k2α2＋… ks αs)＝0.
由am×n，r(a)＝nax＝0只有零解。
故k1α1＋k2α2＋…＋ks αs＝0，又α1，α2，…，s线性无关k0＝k1＝k2＝…＝ks＝0.
从而aα1，aα2，…，aαs线性无关。
充分性（用秩）
因为aα1，aα2，…，aαs＝a(α1，α2，…，s)，所以。
r(aα1，aα2，…，aαs)＝r(a(α1，α2，…，s))≤r(α1，α2，…，s)
由aα1，aα2，…，aαs线性无关知r(aα1，aα2，…，aαs)＝s.
而r(α1，α2，…，s)≤s，从而r(α1，α2，…，s)＝sα1，α2，…，s线性无关。
例题4】设a＝[α1，α2，α3，α4]，ax＝β的通解是[1，－2，1，－1] t＋k[1，3，2，0]t，b＝[α3，α2，α1，β＋4]，γ1－3α2＋5α3，i) α1能否由α2，α3线性表出？
ii) α4能否由α1，α2，α3线性表出？
iii) bx＝γ求的通解。
分析】由非齐次方程组解的结构知道对应的齐次方程组的解的结构。并且由于系数矩阵没有明确给出，所以要从解的结构抽象地求解方程组。用观察法得到基础解系，注意基础解系是线性无关的。
证】(i) ax＝β解的结构知r(a)＝3.
由a＝0α1＋3α2＋2α3＝0α1能由α2，α3线性表出。
ii) 设x1α1＋x2α2＋x3α3 ＝α4
由(i)知r(α1，α2，α3)＜3，而r(α1，α2，α3，α4)＝4，知方程组无解，故α4不能由α1，α2，α3线性表出。
iii)由a＝βα1 －2α2 ＋α3－α4＝β，那么b＝[α3，α2，α1，β＋4]＝[3，α2，α1，α1－2α2＋α3－α4] r(b)＝4.
从而n－r(b)＝2.
因为[α3，α2，α1，α1 －2α2＋α3－α4]＝α1－3α2＋5α3
所以[5，－3，1，0] t是bx＝γ的一个解。
由(i)知α1＋3α2＋2α3＝0，从而[α3，α2，α1，α1－2α2 ＋α3－α4]＝0，用观察法，取另一个向量使得它与[2，3，1，0] t线性无关，即。
α3，α2，α1，α1－2α2＋α3－α4]＝0，所以bx＝γ的通解是。
5，－3，1，0] t ＋k1[2，3，1，0] t ＋k2[－1，－2，1，－1] t，其中k1，k2为任意常数。
例题5】a ＝ 1，α2，α3]，α1≠0满足ab＝0.其中b＝，求α1，α2，α3的一个极大线性无关组，并用它表出其他向量。
分析】从ab＝0要得想到两方面的信息：(i) r(a)＋r(b)≤n (ii) b的列向量均是ax＝0的解。
解】由ab＝0r(a)＋r(b)≤3.
因为a≠0，b≠0知1≤r(a)≤2，1≤r(a)≤2
当k ≠9时，r(b)＝2，从而r(a)＝1，此时极大无关组为α1.由ab＝0得。
k－9)α3＝0
又k≠9，故α3＝0，α3＝0α1.
当k＝9时，r(b)＝1，从而r(a)＝1或2.
若r(a)＝1，则极大无关组为α1，由α1＋2α2＋3α3－α4＝0
若r(a)＝2，则极大无关组为α1，α2（α1，α2必定线性无关，否则r(a)＝1）
例题6】设a＝，r(a)＝2，则a* x＝0的通解是___
分析】若a为n阶方阵，则，从而由r(a)＝2知r(a*)＝1，又|a|＝0，得a* a＝a a*＝|a|e＝0 a的列向量是a* x＝0解。由解的结构知应填k1[□，t ＋k2[□，t的形式。
解】而由r(a)＝2知r(a*)＝1，所以通解由n－r(b)＝3－1＝2个解向量构成。
又|a|＝0，得a* a＝a a*＝|a|e＝0a的列向量是a* x＝0解。
即 [1，0，－1] t ，[2，1，a] t ，[3，2，4－a] t.
又[2，1，a] t ＋[3，2，4－a] t＝[5，4，3] t，显然[1，0，－1] t与[5，4，3] t线性无关，故k1[1，0，－1] t＋k2[5，4，3] t是a* x＝0的通解，其中k1，k2为任意常数。
例题7】设α1，α2，α3是ax＝b的解，r(a)＝3，若α1＋α2＝[1，2，3，4] t，α2＋2α3＝[2，3，4，5] t，则ax＝b的通解是___
解】由r(a)＝3知ax＝0的通解由n－r(b)＝4－3＝1个解向量构成。从而。
3(α1＋α2)－2(α2＋2α3)是ax＝0的解，即[－1，0， 1，2] t
α2＋2α3)－(1＋α2)是ax＝b的解，即[1，1， 1，1] t
从而，[1，1，1，1] t＋k[－1，0， 1，2] t 是ax＝b的通解，其中k为任意常数。
例题8】设a＝只有2个线性无关的特征向量。求a的特征值与特征向量。
解】3阶矩阵只有2个线性无关的特征向量，则特征值必有重根。
λe－a|＝＝a)(λ4)＝0.
1)若a＝0，则λ1＝λ2＝0.
对[0e－a] x＝0，有。
从而α1＝[1，0，1] t，k1α1，其中k1为任意常数。
对[4e－a] x＝0，有。
从而α2＝[－5，4，－11] t，k2α2，其中k2为任意常数。
2)若a＝4，则λ1＝λ2＝4.
对[0e－a] x＝0，有。
从而α3＝[1，0，1] t，k3α3，其中k3为任意常数。
对[4e－a] x＝0，有。
从而α4＝[1，4，1] t，k4α4，其中k4为任意常数。
例题9】设a是3阶矩阵，且αtβ＝，a＝αβt＋βαt.
i)证明 0是a的特征值。
ii)证明α＋β是a的特征向量。
iii)求二次型xtax的正负惯性指数。
证】(i)∵ tβ＝βtα＝.
βαt，βαt是秩为1的矩阵。
从而r(a)＝r(αβt＋βαt)≤r(αβt)＋r(βαt)＝2＜3.即|a|＝00是a的特征值。
ii) a(α＋t＋βαt)(αtα＋βtα＋αtβ＋βtβ
又(α＋0，否则α＋β0α＝－tβ＝βtα＝－1≠（α是3维单位列向量）.
从而α＋β是a的属于特征值的特征向量。
同样有a且(α－0，从而α－β是a的属于特征值－的特征向量。
(iii)由(i)、 ii)知a的特征值是：0，，－又at＝a（否则a不是二次型的矩阵）p＝1，q＝1
例题10】设a是3阶矩阵，α1，α2，α3是3维线性无关的列向量，α1是ax＝0的解，aα2＝α1＋2α2，aα3＝α1－3α2＋2α3.
i)求a的特征值，特征向量。
ii)判断a是否和λ相似？
分析】由aα2＝α1＋2α2，aα3＝α1－3α2＋2α3，α1是ax＝0的解，得到a[α1，α2，α3] [0，α1＋2α2，α1－3α2＋2α3]＝[1，α2，α3].记b＝，若[α1，α2，α3]可逆，则必有a＝[α1，α2，α3]b[α1，α2，α3]－1，现在问题是[α1，α2，α3]可不可逆呢？题目中又给出了α1，α2，α3线性无关，故三阶矩阵[α1，α2，α3]必可逆，所以a和b相似。
所以求a的特征值和特征向量就转为求b的特征值与特征向量。记a的特征向量为ζ，则b的特征向量为p－1ζ ，所以知道了p－1ζ，就可以求出ζ.
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