小炎遇到这样一个问题：如图1，点e、f分别在正方形abcd的边bc，cd上，∠eaf=45°，连结ef，则ef=be+df，试说明理由．
图1图2小炎是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法将这些分散的线段相对集中．她先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，最后发现线段ab，ad是共点并且相等的，于是找到解决问题的方法．她的方法是将△abe绕着点a逆时针旋转90°得到△adg，再利用全等的知识解决了这个问题（如图2）．
参考小炎同学思考问题的方法，解决下列问题：
1）如图3，四边形abcd中，ab=ad，∠bad=90°点e，f分别在边bc，cd上，∠eaf=45°．若∠b，∠d都不是直角，则当∠b与∠d满足_ 关系时，仍有ef=be+df；
2）如图4，在△abc中，∠bac=90°，ab=ac，点d、e均在边bc上，且∠dae=45°，若bd=1， ec=2，求de的长．
图3图4本小题满分5分）
解： (1)∠b+∠d=180°（或互补1分。
(2)∵ ab=ac， 把△abd绕a点逆时针旋转90°至△acg，可使ab与ac重合。 …2分。
b=∠acg,bd=cg,ad=ag
△abc中，∠bac=90°， acb+∠acg=∠acb+∠b=90°．
即∠ecg=90°．
ec2+cg2=eg2．……3分。
在△aeg与△aed中，eag=∠eac+∠cag=∠eac+∠bad=90°-∠ead=45°=∠ead．
又∵ad=ag，ae=ae， △aeg≌△aed ． 4分。
de=eg ．
又∵cg=bd, bd2+ec2=de2．
5分。西城一模22.阅读下列材料：
问题：在平面直角坐标系xoy中，一张矩形纸片obcd按如图1所示放置，已知ob=10，bc=6．将这张纸片折叠，使点o落在边cd上，记作点a，折痕与边od（含端点）交于点e，与边ob（含端点）或其延长线交于点f，求点a的坐标．
小明在解决这个问题时发现：要求点a的坐标，只要求出线段ad的长即可．连接oa，设折痕ef所在直线对应的函数表达式为（），于是有 e（0，n），f（，0）．所以在rt△eof中， 得到tan∠ofe=，在rt△aod中，利用等角的三角函数值相等，就可以求出线段da的长（如图1）．
图1图2备用图。
请回答：1）如图1，若点e的坐标为（0，4），直接写出点a的坐标；
2）在图2中，已知点o落在边cd上的点a处，请画出折痕所在的直线ef（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
参考小明的做法，解决以下问题：
3）将矩形沿直线折叠，求点a的坐标；
4）将矩形沿直线折叠，点f落在ob边上（含端点），直接写出k的取值范围．
解：（1）点a的坐标（，0）；…1分。
2）如图2分。
（3）ef垂直平分oa，则∠aod=∠ofe．
tan∠aod =tan∠ofe=．
在rt△aod中，da= od tan∠aod．
点a的坐标为； 3分。
4） 5分。
找到两个特殊点（od和dc重合；ef过b点利用tan∠ofe=
年海淀一模22．阅读下面材料：
在学习小组活动中，小明**了下面问题：菱形纸片abcd的边长为2，折叠菱形纸片，将b、d两点重合在对角线bd上的同一点处，折痕分别为ef、gh．当重合点在对角线bd上移动时，六边形aefchg的周长的变化情况是怎样的？
小明发现：若∠abc=60°，如图1，当重合点在菱形的对称中心o处时，六边形aefchg的周长为。
如图2，当重合点在对角线bd上移动时，六边形aefchg的周长填“改变”或“不变”）.
请帮助小明解决下面问题：
如果菱形纸片abcd边长仍为2，改变∠abc的大小，折痕ef的长为m．
1）如图3，若∠abc=120°，则六边形aefchg的周长为。
2）如图4，若∠abc的大小为，则六边形aefchg的周长可表示为。
解： 61分。
不变2分。13分。
25分。年朝阳22．以下是小辰同学阅读的一份材料和思考：
五个边长为1的小正方形如图①放置，用两条线段把它们分割成三部分(如图②)，移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的新正方形(如图③).
小辰阅读后发现，拼接前后图形的面积相等，若设新的正方形的边长为x（x＞0），可得x2=5，x=.由此可知新正方形边长等于两个小正方形组成的矩形的对角线长。
参考上面的材料和小辰的思考方法，解决问题：
五个边长为1的小正方形（如图④放置），用两条线段把它们分割成四部分，移动其中的两部分，与未移动的部分恰好拼接成一个无空隙无重叠的矩形，且所得矩形的邻边之比为1：2．
具体要求如下：
1）设拼接后的长方形的长为a，宽为b，则a的长度为。
2）在图④中，画出符合题意的两条分割线（只要画出一种即可）；
3）在图⑤中，画出拼接后符合题意的长方形（只要画出一种即可）
解：（11分。
（2）如图（画出其中一种情况即可）
3分。（2）如图（画出其中一种情况即可5分。
４年石景山一模22．实验操作。
1）如图1，在平面直角坐标系中，△的顶点的横、纵坐标都是整数，若将△以点为旋转中心，按顺时针方向旋转得到△，请在坐标系中画出点及△；
（2）如图2，在菱形网格图（最小的菱形的边长为1，且有一个内角为）中有一个等边△，它的顶点都落在格点上，若将△以点为旋转中心，按顺时针方向旋转得到△，请在菱形网格图中画出△.其中，点旋转到点所经过的路线长为 .
解：（1）画出点p………1分。
画出△def………2分。
4分。5分。
门头沟一模22. 折纸是一种传统的手工艺术，也是很多人从小就经历的事，在折纸中，蕴涵许多数学知识，我们还可以通过折纸验证数学猜想．如下图把一张直角三角形纸片按照图①～④的过程折叠后展开，便得到一个新的图形—“叠加矩形”。请按照上述操作过程完成下面的问题：
1）若上述直角三角形的面积为6，则叠加矩形的面积为。
2）已知△abc在正方形网格的格点上，在图9中画出△abc的边bc上的叠加矩形efgh（用虚线作出痕迹，实线呈现矩形，保留作图痕迹）
(3) 如图10所示的坐标系，oa=3，点p为第一象限内的整数点，使得△oap的叠加矩形是正方形，写出所有满足条件的p点的坐标。
1）31分。
（2）作图正确2分。
（3）图略 （答对1个坐标得1分）
年丰台一模22. 在学习三角形中线的知识时，小明了解到：三角形的任意一条中线所在的直线可以把该三角形分为面积相等的两部分。
进而，小明继续研究，过四边形的某一顶点的直线能否将该四边形平分为面积相等的两部分？他画出了如下示意图（如图1），得到了符合要求的直线af。
小明的作图步骤如下：
第一步：连结ac；
第二步：过点b作be//ac交dc的延长线于点e；
第三步：取ed中点f，作直线af；
则直线af即为所求。
请参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图2，五边形abocd，各顶点坐标为：a(3,4)，b(0,2)，o(0,0)，c(4,0)，d(4,2).请你构造一条经过顶点a的直线，将五边形abocd分为面积相等的两部分，并求出该直线的解析式。
解：正确构图1分。
连结ao，作bm//ao交x轴于点m；
连结ac，作dn//ac交x轴于点n；
取mn中点f，作ah⊥x轴于h。
bm//ao∴∠bmo=∠aoh
∠bom=∠aho=90°∴△bmo∽△aoh
∴∴mo=1.5………2分。
同理 cn=0.53分。
m（-1.5,0），n（4.5,0）
mn的中点f（1.5,04分。
设直线af的解析式为。
把a（3,4）和f（1.5,0）代入得。
解得∴直线af的解析式为………5分。
年大兴一模22. 如图，在平面直角坐标系xoy中，e（8,0），f(0 , 6).
1）当g(4，8)时，则∠fgebd
2）在图中的网格区域内找一点p，使∠fpe=90°且四边形oepf被。
过p点的一条直线分割成两部分后，可以拼成一个正方形．
要求：写出点p点坐标，画出过p点的分割线并指出分割线（不必说明理由，不写画法）.
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