18．（本小题满分14分）
如图5所示，在三棱锥中，，平面平面，于点，，，
1）求三棱锥的体积；
2）证明△为直角三角形．
20．（本小题满分14分）
已知函数．1）求函数的单调递增区间；
2）若对任意，函数在上都有三个零点，求实数的取值范围．
21．（本小题满分14分）
已知椭圆的左、右两个顶点分别为、．曲线是以、两点为顶点，离心率为的双曲线．设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点．
1）求曲线的方程；
2）设点、的横坐标分别为、，证明：；
3）设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围．
22.（本小题共14分）直线与椭圆交于，两点，已知， ，若且椭圆的离心率，又椭圆经过点，为坐标原点．
1）求椭圆的方程；
2）若直线过椭圆的焦点（为半焦距），求直线的斜率的值；
3）试问：的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由。
23．（本小题共14分）已知数列中，，对于任意的，有，1）求数列的通项公式；
2）数列满足：，求数列的通项公式；
3）设，是否存在实数，当时，恒成立，若存在，求实数的取值范围，若不存在，请说明理由。
2012一模大题答案。
18.（1）证明：因为平面平面，平面平面，平面，所以平面． 记边上的中点为，在△中，因为，
所以．因为，所以．所以△的面积．因为，所以三棱锥的体积．
2：连接，在△中，因为，所以． 在△中，所以，所以．由（1）知平面，因为平面，所以． 因为所以平面．
因为平面，所以．所以为直角三角形．
20.（1）解：因为，所以．
当时，，函数没有单调递增区间；当时，令，得．故的单调递增区间为；当时，令，得．
故的单调递增区间为．综上所述，当时，函数没有单调递增区间；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为．
2）解：，由（1）知，时，的单调递增区间为，单调递减区间为和．所以函数在处取得极小值，
函数在处取得极大值．由于对任意，函数在上都有三个零点，所以即解得．因为对任意，恒成立，所以．所以实数的取值范围是．
21．（本小题满分14分）
本小题主要考查椭圆与双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系、函数最值等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）
1）解：依题意可得，．设双曲线的方程为，因为双曲线的离心率为，所以，即．所以双曲线的方程为．
2）证法1：设点、（，直线的斜率为（），则直线的方程为，联立方程组整理，得，解得或．所以．同理可得，．所以．
证法2：设点、（，则，．因为，所以，即．因为点和点分别在双曲线和椭圆上，所以，．
即，所以，即．所以
证法3：设点，直线的方程为，联立方程组…
整理，得，解得或．将代入，得，即所以．分。
3）解：设点、（，则，．
因为，所以，即．因为点在双曲线上，则，所以，即因为点是双曲线在第一象限内的一点，所以．因为，，
所以．由（2）知，，即．
设，则，．设，则，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减．
因为，，所以当，即时，．当，即时，．所以的取值范围为．
说明：由，得。
22．（本小题共14分）
解：（1）∵ 2∴ ∴椭圆的方程为 ……4分。
2）依题意，设的方程为由 ……5分。
显然6分。由已知得：
解得8分。3）①当直线斜率不存在时，即，由已知，得。
又在椭圆上， 所以。
三角形的面积为定值．……10分。
当直线斜率存在时：设的方程为。
必须即。得到。
代入整理得13分。
所以三角形的面积为定值． …14分。
23．（本小题共14分）
解：（1）取，则 ∴（
是公差为，首项为的等差数列4分。
-②得：∴ 6分。
当时， ∴满足上式 ∴ 8分。
3） 假设存在，使。
当为正偶函数时，恒成立，．
11分。当为正奇数时，恒成立．
综上可知，存在实数．使时，恒成立． …14分。
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