2023年青岛一模数学（理科）试题。
第ⅰ卷（选择题共60分）
一、单项选择题：每题均有四个选项，其中只有一个正确的。
1】已知集合，集合，则（ ）
ab） （c） （d）
2】已知为虚数单位，实数满足，则的值为（ ）
abcd）3】已知满足约束条件，则的最小值是（ ）
abcd）4】已知函数图象的相邻两对称中心的距离为，且对任意都有，则函数的一个单调递增区间可以为（ ）abcd）
5】执行如图所示的程序框图，则输出的值为（ ）
abcd）6】过抛物线的焦点作倾斜角为的直线，若与抛物线交于两点，且的中点到抛物线准线的距离为，则的值为（ ）
abcd）7】部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形。谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基2023年提出。具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是（ ）abcd）
8】在中，，，则（ ）abcd）
9】已知双曲线：，为坐标原点，过的右顶点且垂直于轴的直线交的渐近线于，过的右焦点且垂直于轴的直线交的渐近线于，若与的面积之比为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
abcd）10】设，则展开式中的常数项为（ ）
abcd）11】我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵。已知在堑堵中，，，则与平面所成角为（ ）
abcd）12】已知，若方程有四个不等实根，则的取值范围是（ ）
abcd）第ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13】若，则 。
14】已知，且，则的最小值为。
15】在四棱锥中，底面是边长为的正方形，面，且，若在这个四棱锥内有一个球，则此球的最大表面积为。
16】在中，，，若恒成立，则的最小值为。
三、解答题：本大题共70分，请写出解答的详细过程。
17】（本小题满分12分）已知数列的前项和为，满足：，，数列为等比数列，满足，，。
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）若数列的前项和为，数列的前项和为，试比较与的大小。
18】（本小题满分12分）如图，在多面体中，平面，平面平面，是边长为的等边三角形，，。
ⅰ）证明：平面平面；
ⅱ）求二面角的余弦值。
19】（本小题满分12分）已知椭圆：的离心率为，分别为椭圆的左、右顶点，为椭圆的右焦点，过的直线与椭圆交于不同的两点，当直线垂直于轴时，四边形的面积为。
ⅰ）求椭圆的方程；
ⅱ）若直线的斜率为，线段的垂直平分线与轴交于点，求证：为定值。
20】（本小题满分12分）某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取件产品作为样本称出它们的质量（单位：毫克），质量值落在的产品为合格品，否则为不合格品。如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图。
ⅰ）由以上统计数据完成下面列联表，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关？
ⅱ）由乙流水线的频率分布直方图可以认。
为乙流水线生产的产品质量指标服从正态。
分布，求质量指标落在。
上的概率；参考公式：，ⅲ若以频率作为概率，从甲流水线任取件产品，求至少有一件产品是合格品的概率。
21】（本小题满分12分）已知函数。
ⅰ）当时，证明：函数只有一个零点；
ⅱ）若函数的极大值等于，求实数的取值范围。
22】（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
直角坐标系中，曲线的参数方程为其中为参数；以为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，曲线：。
ⅰ）求曲线的普通方程和极坐标方程；
ⅱ）已知直线与曲线和曲线分别交于和两点均异于点，求线段的长。
23】（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数，。
ⅰ）若，解不等式；
ⅱ）对任意，恒成立，求实数的取值范围。
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