北京市朝阳区2015-2016学年度第二学期高三年级统一考试。
数学答案（理工类） 2016．3
一、选择题：（满分40分）
二、填空题：（满分30分）
注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）
三、解答题：（满分80分）
15．（本小题满分13分）
解：（ⅰ当时， 令．解得．
所以的单调递增区间是。……7分。
ⅱ）由。因为，所以．
则，．解得．
又因为函数的最小正周期，且，所以当时，的最大值为13分。
16．（本小题满分13分）
解：（ⅰ设事件：从这个班级的学生中随机选取一名男生，一名女生，这两名学生阅。
读本数之和为4 ．
由题意可知4分。
（ⅱ）阅读名著不少于4本的学生共8人，其中男学生人数为4人，故的取值为。
由题意可得； ；
所以随机变量的分布列为。
随机变量的均值．……10分。
13分。17．（本小题满分14分）
解：（ⅰ由已知，且平面平面，所以，即．
又因为且，所以平面．
由已知，所以平面．
因为平面，所以4分。
ⅱ）由（ⅰ）可知两两垂直．
分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示．
由已知，所以，．
因为为线段的中点，为线段的中点，所以．
易知平面的一个法向量．
设平面的一个法向量为，
由得 取，得．
由图可知，二面角的大小为锐角，所以．
所以二面角的余弦值为9分。
ⅲ）存在点，使得直线//平面．
设，且，，则，所以．所以．
设平面的一个法向量为，
由得 取，得（显然不符合题意）．
又，若//平面，则．
所以．所以．
所以**段上存在点，且时，使得直线//平面．……14分。
18．（本小题满分13分）
解：（ⅰ函数的定义域为．．
1）当时，恒成立，函数在上单调递增；
2）当时， 令，得．
当时，，函数为减函数；
当时，，函数为增函数．
综上所述，当时，函数的单调递增区间为．
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
4分。ⅱ）由（ⅰ）可知，1）当时，即时，函数在区间上为增函数，所以在区间上，，显然函数在区间上恒大于零；
2）当时，即时，函数在上为减函数，在。
上为增函数，所以．
依题意有，解得，所以．
3）当时，即时，在区间上为减函数，所以．
依题意有，解得，所以．
综上所述，当时，函数在区间上恒大于零．……8分。
ⅲ）设切点为，则切线斜率，切线方程为．
因为切线过点，则．
即。令，则．
1）当时，在区间上，，单调递增；
在区间上，，单调递减，所以函数的最大值为．
故方程无解，即不存在满足①式．
因此当时，切线的条数为．
2）当时， 在区间上，，单调递减，在区间上，，单调递增，所以函数的最小值为．
取，则．故在上存在唯一零点．
取，则．设，，则．
当时，恒成立．
所以在单调递增，恒成立．所以．
故在上存在唯一零点．
因此当时，过点p存在两条切线．
3）当时，，显然不存在过点p的切线．
综上所述，当时，过点p存在两条切线；
当时，不存在过点p的切线13分。
19．（本小题满分14分）
解：(ⅰ由题意可知，，，所以．
因为是椭圆上的点，由椭圆定义得．
所以的周长为．
易得椭圆的离心率4分。
ⅱ)由得．因为直线与椭圆有两个交点，并注意到直线不过点，所以解得或．
设，，则，．
显然直线与的斜率存在，设直线与的斜率分别为，则。
因为，所以．
所以14分。
20．（本小题满分13分）
解：（ⅰ观察数列的前若干项：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，….
因为数列是递增的整数数列，且等比数列以2为首项，显然最小公比不能是，最小公比是4.
ⅰ）以2为首项，且公比最小的等比数列的前四项是2，8，32，128.
（ⅱ）由（ⅰ）可知，公比，所以。
又，所以，即。
再证为正整数。
显然为正整数，时，即，故为正整数。
所以，所求通项公式为。
6分。ⅱ）设数列是数列中包含的一个无穷等比数列，且，所以公比。因为等比数列各项为整数，所以为整数。
取（），则，故。
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