淮北市2015届高三第一次模拟考试数学（理科）答案：
一、选择题：
9.可数形结合，考虑曲线的弦和一端点处切线的斜率即可；也可构造函数求最值。
10.，由共线定理及外心可得关系；亦可数量积，分别点乘再相加得。
二、填空题：
14.连，考虑被对角面分成两个共底的三棱锥体积之和；或建系求解。
三、解答题：
16、（1）解： 3分。令。
的单调递增区间为6分。
2）由，又。
因此，解得8分。
由正弦定理，得，又由可得10分。
故12分。17. (1)因为点e为线段pb的中点，点o为线段ab的中点，所以oe∥pa.
因为pa平面pac，oe平面pac，所以oe∥平面pac.
因为om∥ac，又ac平面pac，om平面pac，所以om∥平面pac.
因为oe平面moe，om平面moe，oe∩om＝o，所以平面moe∥平面pac4分。
2)因为点c在以ab为直径的⊙o上，所以∠acb＝90°，即bc⊥ac.
因为pa⊥平面abc，bc平面abc，所以pa⊥bc.
因为ac平面pac，pa平面pac，pa∩ac＝a，所以bc⊥平面pac.
因为bc平面pbc，所以平面pac⊥平面pbc9分。
3)如图，以c为原点，ca所在的直线为x轴，cb所在的直线为y轴，建立空间直角坐标系c－xyz.
因为∠cba＝30°，pa＝ab＝2，所以cb＝2cos30°＝，ac＝1.
延长mo交cb于点d.
因为om∥ac，所以md⊥cb，md＝1＋＝，cd＝cb＝.
所以p(1,0,2)，c(0,0,0)，b(0，，0)，m(，，0)．
所以＝(1,0,2)，＝0，，0)．
设平面pcb的法向量m＝(x，y，z)．
因为即。令z＝1，则x＝－2，y＝0.
所以m＝(－2,0,1)．
同理可求平面pmb的一个法向量n＝(1，，1)．
所以cos〈m，n〉＝＝所以cos12分。
18. 解：(1)记“恰好赶上pm2.5日均监测数据未超标”为事件a
3分。(2)记“他这两次此地pm2.5监测数据均未超标且空气质量恰好有一天为一级”
为事件b7分。
(3)的可能值为0,1,2,3
10分。其分布列为：
12分。19. 解：(1)因为椭圆过点p(，)所以=1,解得a2=2,
又以ap为直径的圆恰好过右焦点f2.所以af2f2p,即=1, b2=c(43c).…6分。
而b2=a2c2=2c2,所以c22c+1=0,解得c2=1,故椭圆c的方程是+y2=14分。
(2)①当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=kx+p，代入椭圆方程得。
1+2k2)x2+4kpx+2p2－2=0.
因为直线l与椭圆c有只有一个公共点，所以。
=16k2p2－4(1+2k2)(2p2－2)=8(1+2k2―p2)=0，即 1+2k2=p27分。
设在x轴上存在两点(s,0),(t,0),使其到直线l的距离之积为1,则。
==1,即(st+1)k+p(s+t)=0(*)或(st+3)k2+(s+t)kp+2=0 (*
由(*)恒成立，得解得，或。
而(**不恒成立10分。
当直线l斜率不存在时，直线方程为x=时，定点(－1，0)、f2(1，0)到直线l的距离之积d1 d2=(－1)( 1)=1.
综上，存在两个定点(1,0),(1,0),使其到直线l 的距离之积为定值1. …12分。
20. 解：（1）
又。所以是首项为，公比为4的等比数列，且………5分。
2）由（ⅰ）可知，……7分。
………8分。
所以，或………9分。
11分。当n＝2k时，当n＝2k－1时，<3
＋＋…3．……13分。
21. 解：由已知函数的定义域均为，且。 …1分。
1）函数，当且时，;当时，.
所以函数的单调减区间是，增区间是。 …4分。
2）因f(x)在上为减函数，故在上恒成立．
所以当时，．
又，故当，即时，．
所以于是，故a的最小值为7分。
3）命题“若使成立”等价于。
当时，有。由（ⅱ）当时，，
问题等价于：“当时，有9分。
当时，由（ⅱ）在上为减函数，则=，故．
当时，由于在上为增函数，故的值域为，即．
i)若，即，在恒成立，故在上为增函数，于是， =不合题意11分。
ii)若，即，由的单调性和值域知，唯一，使，且满足：
当时，，为减函数；当时，，为增函数；
所以， =所以，，与矛盾，不合题意．
综上，得14分。
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