丰台区2023年高三年级第二学期数学统一练习（一）
数学（理科）参***。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
注：第12题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．解：（ⅰ法1）因为，由正弦定理可得．
即2分。所以4分。
因为在△abc中，所以又5分。
所以，．所以 △abc为的直角三角形6分。
法2）因为，由余弦定理可得4分。
即．因为， 所以5分。
所以在△abc中，．
所以 △abc为的直角三角形6分。
ⅱ）因为8分。
10分。所以．
因为△abc是的直角三角形，所以，且11分。
所以当时，有最小值是12分。
所以的取值范围是13分。
16．证明：（ⅰ取ad中点o，连结op，ob，bd．
因为 pa=pd，所以 po⊥ad1分。
因为菱形abcd中，∠bcd=60，所以 ab=bd，所以 bo⊥ad2分。
因为 bo∩po=o3分。
所以 ad⊥平面pob．……4分。
所以 ad⊥pb5分。
ⅱ）由（ⅰ）知bo⊥ad，po⊥ad．
因为侧面pad⊥底面abcd，且平面pad∩底面abcd=ad，所以po⊥底面abcd6分。
以为坐标原点，如图建立空间直角坐标系．
………7分。
则，因为为中点， 所以8分。
所以，所以平面的法向量为．
因为，设平面的法向量为， 则。
令，则，，即9分。
由图可知，二面角e-dq-c为锐角，所以余弦值为10分。
ⅲ）因为，所以，由（ⅱ）知，若设，则，由， 得，在平面中，所以平面法向量为12分。
又因为 pa //平面deq，所以13分。
即，得．所以，当时，pa //平面deq14分。
17．解：(ⅰ根据频率分布直方图中的数据，可得。
所以2分。ⅱ）学生成绩在内的共有40×0.05=2人，在内的共有40×0.225=9人，成绩在内的学生共有11人4分。
设“从成绩在的学生中随机选3名，且他们的成绩都在内”为事件a，……5分。
则7分。所以选取的3名学生成绩都在内的概率为．
ⅲ）依题意，x的可能取值是1，2，38分。
10分。所以x的分布列为。
………11分。
13分。18．解：（ⅰ当时1分。
因为2分。所以切线方程为3分。
ⅱ）函数的定义域为．
当a>0时4分。
令，即，所以或5分。
当，即时，在上单调递增，所以在[1,e]上的最小值是6分。
当时，在[1,e]上的最小值是，不合题意；
当时，在上单调递减，所以在[1,e]上的最小值是，不合题意7分。
综上可得8分。
ⅲ）设，则9分。
只要在上单调递增即可．
而10分。当时，，此时在单调递增11分。
当时，只需在恒成立，因为，只要，则需要，对于函数，过定点，对称轴，只需，即12分。
综上可得13分。
19．解：（ⅰ依题意，，所以2分。
因为， 所以3分。
椭圆方程为5分。
消y得6分。
因为，所以7分。
设直线ma：，则；同理………9分。
因为，所以， 即10分。
所以，所以，所以，得13分。
则，故过定点14分。
20．解：（ⅰ因为， 所以．
所以。所以，且。
所以数列是首项为2，公比为的等比数列．
所以， 即4分。
ⅱ）（假设存在实数，使数列为等差数列，则必有，且，，．
所以，解得或．
当时，，，所以数列为等差数列；
当时，，，显然不是等差数列．
所以，当时，数列为等差数列9分。
ⅱ），则；所以；
所以．因为，所以；
所以．………13分。
若用其他方法解题，请酌情给分）
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