汕头市2023年普通高中高三教学质量测评试题（二）
数学（理科）
参考公式：如果事件a、b互斥，那么。
如果事件a、b相互独立，那么。
一．选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分。每小题只有一个正确答案）
1．函数的定义域是（ d ）
a． b． cd．
2．已知命题命题，则（ d ）
a．为真 b．为真 c．为真 d．为真
3．分类变量和的列联表如下：
则下列说法中正确的是（ d ）
a．越小，说明与关系越弱； b．越大，说明与关系越强；
c．越大，说明与关系越强； d．越接近于，说明与关系越强；
4．已知两条不同的直线和两个不同的平面，则下列命题中为假命题的是（ d ）
a．若∥，，则b．若∥，，则
c．若，，，则 d．若∥，，则∥
5．已知为平行四边形，则“”是“为矩形”的（ c ）
a．充分不必要条件 b．必要不充分条件 c．充要条件 d．既不充分也不必要条件。
6．右图是某篮球运动员在一个赛季的30场比赛中得分的茎
叶图，则得分的中位数与众数分别为（ c ）
a．3与3b．23与3
c．3与23d．23与3
7．下列四个命题中，正确的是（ a ）
a．已知函数，则
b．设回归直线方程为，当变量增加一个单位时，平均增加2个单位
c．已知服从正态分布，且，则
d．对于命题；则。
8．定义在上的奇函数，当时，，则关于的函数。
的所有零点之和为（ ）
a． b． c． d．
二．填空题（本大题共7小题，只做6小题。每小题5分，满分30分）
9．设复数满足为虚数单位，则复数的模 ．
10．定义运算，函数图像的顶点是，且成等差数列，则
11．直线交圆于两点，则。
线段的垂直平分线的方程为。
12．已知实数满足：且，则的最大值是
13．执行如图所示的程序框图，若输出的值为16，则图中判断框内“？”处应填的数为
选做题：（二选一）
14．在极坐标系中，曲线与相交于点，则。
15．（几何证明选讲）如图，在四边形中，∥，则
三．解答题：（本大题共6小题，共80分。解答应写。
出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（本小题满分12分）已知函数图像的相邻两条对称轴之间的距离等于。
1）求的表达式；（要写出推导过程）
2）若是直角三角形的内角，求的值域。
17．（本小题满分12分）
某中学号召学生在今年暑假期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）。该校学生会共有100名学生，他们参加活动的次数统计如下表：
用分层抽样的方法从中抽取10人作为样本，将这个样本作为总体。
1）从样本任意选两名学生，求至少有一个参加了2次活动的概率；
2）从样本任意选一名学生，若抽到的学生参加了2次活动，则抽取结束，若不是，则放回重聚，求恰好在第4次抽取后结束的概率。
18．（本小题满分14分）
如图，沿等腰直角三角形的中位线，将平面折起**动一定角度），得到四棱锥，设、、、的中点分别为、、、平面⊥平面。
1）求证：平面⊥平面；
2）求证：、、四点共面；
3）求异面直线与所有的角。
19.（本小题满分14分）某厂家拟在2023年举行**活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年**费用万元（为一个正常数）满足，已知2023年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入6万元，厂家将每件产品的销售**定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定和再投入两部分资金）。
1）将2023年该产品的利润万元表示为年**费用万元的函数；
注：利润＝销售收入－总成本）
2）该厂家2023年投入的**费用为多少万元时，厂家的利润最大？
20．（本小题满分14分）已知椭圆的两个焦点分别为，离心率，是椭圆在第一象限内的一点，且。
1）求椭圆的标准方程；
2）求点的坐标；
3）若点是椭圆上不同于的另一点，问是否存在以为直径的圆过点？若存在，求出圆的方程，若不存在，说明理由。
21.（本题满分14分）数列是首项为，公差为的等差数列，若数列中任意不同的两项之和仍是该数列的一项，则称该数列是“封闭数列”
1）试写出一个不是“封闭数列”的等差数列的通项公式，并说明理由；
2）求证：数列为“封闭数列”的充分必要条件是存在整数，使。
绝密★启用前试卷类型：a
汕头市2023年普通高中高三教学质量测评试题。
数学（理科）参***与初步评分标准。
一、选择题： bacd，cdad
二、填空题：
9．答；10．答；11．答；12．答：8；13．答4；14．答；15．答：1．
解答：1．解：，选b．
2．解：真，假，为真，选a．
3．解： 越大，则越大，x与y关系越强，选c．
4．解：，时与可以异面，选d．
5．解：又abcd为平行四边形， abcd为矩形，选c．
法二： ,对角线相等的平行四边形为矩形。
6．解：出现3次，为最多，众数23
比23大的数有14个，比23小的数有13个，中位数为23，选d．
7．解：＝即，选a．
8．解：，又为奇函数。
时，画出和的图象，如图共有5个交点，设其横坐标从左到右分别为，则。
可得，选d．
9．解：．10．解：
11．解：线段ab的垂直平分线过圆心（0，0），且斜率为方程为．
12．解：画出满足不等式组的可行区域，在可行域内平移直线，当直线经过与的交点a（1，）时，目标函数有最大值．
13．解：根据程序框图中的当型循环，设“？”处填可知：
若，则第一次运行即退出循环，则输出的的值为1，不合；
若则第二次运行即退出循环，则输出的的值为2，不合；
若则第三次运行即退出循环，则输出的的值为4，不合；
若，则第四次运行即退出循环，则输出的的值为16，符合；．
14．解：化为直角坐标方程即圆c：和直线，圆心c（到直线的距离为1，圆的半径为2，法二：在极坐标系中直接作出该圆和直线，．
15．解：．
三．解答题：
16．解：（12分。
每个诱导公式1分）
3分。4分。
由条件有5分。
6分。7分。
2） 由条件1分。
2分。3分。
4分。的值域是5分。
17．解：（1）因参加活动1次、2次、3次的人数比例为10：40：50，即1：4：5；--1分。
故样本中参加活动1次、2次、3次的人数分别为1人、4人、5人2分。
记事件a为“恰有一人参加了2次活动”，事件b为“恰有两人参加了2次活动”，则a与b互斥3分。
故p（a4分。
p（b5分。
答：至少有一人参加了2次活动的概率为6分。
2)记事件c为“恰好在第4次抽取后结束”
每一次抽到参加了2次活动的学生的概率均为即1分。
抽到参加了1次或3次活动的学生的概率为2分。
依题即前3次均取到参加了1次或3次活动的学生，第4次取到参加了2次活动的学生3分。
4分。5分。
答： 恰好在第4次抽取后结束的概率为6分。
18．（1）证明：由等腰直角三角形有，cdde，de∥bc1分。
又，面acd2分。
又de∥bc
平面，平面3分。
平面平面4分。
2)由条件有pq为的中位线，mn为梯形bcde的中位线1分。
pq∥de，mn∥de2分。
pq∥mn3分。
m、n、p、q四点共面4分。
3) 解法一：平面平面，交线为de, adde
ad面bcde1分。
ad、dc、de两两互相垂直
可以以d为原点建立如图空间直角坐标系2分。
设ad=2（长度单位），则dc=2，bc=4，则c（2，0，0），a（0，0，2），e（0，2，0），b（2，4，03分。
4分。设异面直线be与mq所成的角为，∵mq∥bc, 5分。
异面直线be与mq所成的角大小为6分。
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