第四大题。
1.如图6所示，已知曲线与曲线交于点、，直线与曲线、分别相交于点、，连结。
ⅰ）写出曲边四边形（阴影部分）的面积与的函数关系式；
ⅱ）求函数在区间上的最大值。
2.已知数列中，且（且）．
（1）若数列为等差数列，求实数的值；
2）求数列的前项和．
3.某车间有50名工人，要完成150件产品的生产任务，每件产品由3个型零件和1个型零件配套组成。每个工人每小时能加工5个型零件或者3个型零件，现在把这些工人分成两组同时工作(分组后人数不再进行调整)，每组加工同一种型号的零件。
设加工型零件的工人人数为名（n）.
1）设完成型零件加工所需时间为小时，写出的解析式；
2）为了在最短时间内完成全部生产任务，应取何值？
4,已知，函数，（其中为自然对数的底数）．
1）求函数在区间上的最小值；
2）是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直？ 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
5.已知直线上有一个动点，过点作直线垂直于轴，动点在上，且满足。
(为坐标原点),记点的轨迹为。
1) 求曲线的方程；
6.若直线是曲线的一条切线， 当点到直线的距离最短时，求直线的方程。
等比数列的各项均为正数，成等差数列，且．
1）求数列的通项公式；
2）设，求数列的前项和．
7.已知函数和的图象在处的切线互相平行，其中。
ⅰ）求的值；
ⅱ）设，当时，恒成立，求的取值范围。
8.在直角坐标平面内，已知点，是平面内一动点，直线、斜率之积为。
ⅰ）求动点的轨迹的方程；
ⅱ）过点作直线与轨迹交于两点，线段的中点为，求直线的斜率的取值范围。
9.已知函数（，）
ⅰ）求函数的单调递增区间；
ⅱ）若不等式对一切正整数恒成立，求实数的取值范围．
10.某投资公司在2023年年初准备将1000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：
项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，也可能亏损，且这两种情况发生的概率分别为和；
项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利，可能亏损，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为、和．
1）针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由；
2）若市场预期不变，该投资公司按照你选择的项目长期投资（每一年的利润和本金继续用作投资），问大约在哪一年的年底总资产（利润＋本金）可以翻一番？
参考数据：，）
11.已知点是椭圆的右焦点，点、分别是轴、轴上的动点，且满足．若点满足．
1）求点的轨迹的方程；
2）设过点任作一直线与点的轨迹c交于、两点，直线，与直线分别交于点，（为坐标原点），试判断是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．
12.如图7，已知椭圆：的离心率为，以椭圆的左顶点为圆心作圆：，设圆与椭圆交于点与点．
1）求椭圆的方程；
2）求的最小值，并求此时圆的方程；
3）设点是椭圆上异于的任意一点，且直线分别与轴交于点，为坐标原点，求证：为定值．
13.已知数列的前n项和为sn，且。
1)求数列的通项公式；
2)若p,q,r是三个互不相等的正整数，且p,q,r成等差数列，试判断。
是否成等比数列？并说明理由。
14.已知数列满足：，，其中为非零常数，）．
1）判断数列是不是等比数列？
2）求；3）当时，令，为数列的前项和，求．
第五大题。1.已知圆：，直线：，且与相交于、两点，点，且。
ⅰ）当时，求的值；
ⅱ）当，求的取值范围。
2.已知函数（为自然对数的底数）．
1）求函数的最小值；
2）若，证明：．
3.已知动圆过点，且与圆相内切。
1）求动圆的圆心的轨迹方程；
2）设直线（其中与（1）中所求轨迹交于不同两点，d，与双曲线交于不同两点，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．
4.已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，且．
1）求动点的轨迹的方程；
2）已知圆过定点，圆心在轨迹上运动，且圆与轴交于、两点，设，，求的最大值．
5 已知函数满足，对于任意r都有，且，令。
1) 求函数的表达式；
2) 求函数的单调区间；
3) 研究函数在区间上的零点个数。
6.已知椭圆的左，右两个顶点分别为、．曲线是以、两点为顶点，离心率为的双曲线．设点在第一象限且在曲线上，直线与椭圆相交于另一点．
1）求曲线的方程；
2）设、两点的横坐标分别为、，证明：；
3）设与（其中为坐标原点）的面积分别为与，且，求的取值范围．
7.已知数列、、的通项公式满足，（）若数列是一个非零常数列，则称数列是一阶等差数列；若数列是一个非零常数列，则称数列是二阶等差数列。
ⅰ）试写出满足条件、、的二阶等差数列的前五项；
ⅱ）求满足条件（ⅰ）的二阶等差数列的通项公式；
ⅲ）若数列首项， 且满足，求数列的通项公式。
8.已知，，直线与函数、的图象都相切，且与函数的图象的切点的横坐标为。
ⅰ）求直线的方程及的值；
ⅱ）若（其中是的导函数），求函数的最大值；
ⅲ）当时，求证：.
9.在四边形中，已知，点在轴上，，且对角线．
ⅰ)求点的轨迹方程；
ⅱ)若点是直线上任意一点，过点作点的轨迹的两切线、，、为切点，为的中点．求证： 轴；
ⅲ）在(ⅱ)的条件下，直线是否恒过一定点？若是，请求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．
10.已知、分别是直线和上的两个动点，线段的长为，是的中点．
1）求动点的轨迹的方程；
2）过点作直线（与轴不垂直）与轨迹交于两点，与轴交于点．若，，证明：为定值．
11.已知数列是各项均不为0的等差数列，公差为，为其前项和，且满足，．数列满足，为数列的前项和．
1）求，和；
2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由．
12.已知函数，设曲线在与轴交点处的切线为，为的导函数，满足．
1）求；2）设，，求函数在上的最大值；
3）设，若对一切，不等式恒成立，求实数的取值范围．
13.已知椭圆c1的中心在坐标原点，两个焦点分别为，点a（2，3）在椭圆c1上，过点a的直线l与抛物线交于b，c两点，抛物线c2在点b，c处的切线分别为，且与交于点p.
1)求椭圆c1的方程；
2)是否存在满足的点p？若存在，指出这样的点p有几个（不必求出点p的坐标）；若不存在，说明理由。
14.已知两点及，点在以为焦点的椭圆上，且、、构成等差数列．
1）求椭圆的方程；
2）如图7，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点是直线上。
的两点，且．求四边形面积的最大值．
第六大题。1.设是数列的前项和，对任意n总有， n且．
ⅰ）求数列的通项公式；
ⅱ）试比较与的大小；
ⅲ）当时，试比较与的大小．
2.已知抛物线：和点，若抛物线上存在不同两点、满足．
1）求实数的取值范围；
2）当时，抛物线上是否存在异于、的点，使得经过、、三点的圆和抛物线在点处有相同的切线，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
3.已知数列的相邻两项是关于的方程n的两根，且。
1) 求数列和的通项公式；
2) 设是数列的前项和， 问是否存在常数，使得对任意n都成立，若存在， 求出的取值范围； 若不存在， 请说明理由。
4.设数列的前项和为，且对任意的，都有，．
1）求，的值；
2）求数列的通项公式；
3）证明：．
5.已知函数的定义域为r, 且对于任意r,存在正实数，使得。
都成立。1) 若，求的取值范围；
2) 当时，数列满足，.
1 证明：；
2 令，证明：.
6.设函数(为自然对数的底数)，（
1）证明： ；
2）当时，比较与的大小，并说明理由；
3）证明：（）
7.已知定点，动点在轴上，动点在轴的正半轴上，动点满足：， 设动点m的轨迹为曲线，过定点常数的直线与曲线相交于两点．
ⅰ）求曲线的方程；
ⅱ）若点的坐标为，求证：；
ⅲ）是否存在实数使得以为直径的圆截直线所得的弦长恒为定值？若存在求出实数的值；若不存在，请说明理由。
8.如图，是曲线上的个点，点在轴的正半轴上，是正三角形(是坐标原点) .
ⅰ）写出；ⅱ）求出点的横坐标关于的表达式；
ⅲ）设，若对任意正整数，当时，不等式恒成立，求实数的取值范围。
9.已知函数，为函数的导函数．
ⅰ）若数列满足：，（求数列的通项；
ⅱ）若数列满足：，（
ⅰ）当时，数列是否为等差数列？若是，请求出数列的通项；若不是，请说明理由；（ⅱ当时， 求证：．
10.在单调递增数列中，，，且成等差数列，成等比数列，．
1）分别计算，和，的值；
2）求数列的通项公式（将用表示）；
3）设数列的前项和为，证明：，．
11.已知函数．
1）当时，如果函数仅有一个零点，求实数的取值范围；
2）当时，试比较与1的大小；
3）求证： ．
12.已知数列满足：，（其中为自然对数的底数）．
1）求数列的通项；
2）设，，求证：，．
13.已知二次函数，关于x的不等式的解集为，其中m为非零常数。设。
1)求a的值；
2)如何取值时，函数存在极值点，并求出极值点；
3)若m=1，且x>0，求证：
14.已知，，且直线与曲线相切．
1）若对内的一切实数，不等式恒成立，求实数的取值范围；
2）当时，求最大的正整数，使得对（是自然对数的底数）
内的任意个实数都有成立；
3）求证：．
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