16年各区一模几何综合题分类汇总。
一、以等腰三角形为背景的旋转变换。
房山）28.如图1，在四边形abcd中，ba=bc，∠abc=60°，∠adc=30°，连接对角线bd.
1）将线段cd绕点c顺时针旋转60°得到线段ce，连接ae.
依题意补全图1；
试判断ae与bd的数量关系，并证明你的结论；
2）在（1）的条件下，直接写出线段da、db和dc之间的数量关系；
3）如图2，f是对角线bd上一点，且满足∠afc=150°，连接fa和fc，**线段fa、fb和fc之间的数量关系，并证明。
（图1图2）
顺义）28．已知：在△abc中，．
1）如图1，若ab=ac，点p在△abc内，且，，，把△apc绕着点a顺时针旋转，使点c旋转到点b，得到△adb，连结dp．
依题意补全图1；
直接写出的长；
2）如图2 ，若ab=ac，点p在△abc外，且，，，求的度数；
3）如图3，若，点p在△abc内，且，，，直接写出的长．
延庆)29. 阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在△abc（其中∠bac是一个可以变化的角）中，ab=2，ac=4，以bc为边在bc的下方作等边△pbc，求ap的最大值。
小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点b为旋转中心将△abp逆时针旋转60°得到△a’bc,连接a’a,当点a落在a’c上时，此题可解（如图2）．
1)请你回答：ap的最大值是 ．
2)参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图3，等腰rt△abc．边ab=4,p为△abc内部一点，请写出求ap+bp+cp的最小值长的解题思路。
提示：要解决ap+bp+cp的最小值问题，可仿照题目给出的做法。把⊿abp绕b点逆时针旋转60，得到。
1 请画出旋转后的图形。
2 请写出求ap+bp+cp的最小值的解题思路（结果可以不化简）.
二、以等腰直角三角形或正方形为背景的旋转变换。
平谷）28．如图，在△abc中，∠acb=90°，ac=bc=cd，∠acd=α，将线段cd绕点c顺时针旋转90°得到线段ce，连接de，ae，bd．
1）依题意补全图1；
2）判断ae与bd的数量关系与位置关系并加以证明；
3）若0°＜α64°，ab=4，ae与bd相交于点g，求点g到直线ab的距离的最大值．请写出求解的思路（可以不写出计算结果）．
海淀）28．在△abc中，ab=ac，∠bac=，点d在射线bc上（与b、c两点不重合），以ad为边作正方形adef，使点e与点b在直线ad的异侧，射线ba与射线cf相交于点g．
1）若点d**段bc上，如图1.
依题意补全图1；
判断bc与cg的数量关系与位置关系，并加以证明；
2）若点d**段bc的延长线上，且g为cf中点，连接ge，ab =，则ge的。
长为___并简述求ge长的思路．
图1备用图。
朝阳)28．在等腰三角形abc中， ac=bc，点p为bc边上一点（不与b、c重合），连接pa，以p为旋转中心，将线段pa顺时针旋转，旋转角与∠c相等，得到线段pd，连接db．
1）当∠c=90时，请你在图1中补全图形，并直接写出∠dba的度数；
2）如图2，若∠c=α，求∠dba的度数（用含α的代数式表示）；
3）连接ad，若∠c =30，ac=2，∠apc=135，请写出求ad长的思路．（可以不写出计算结果）
通州）28．△abc中，，，于点，于点。
1）如图1，作的角平分线交于点，连接af. 求证：；
2）如图2，连接，点g与点d关于直线对称，连接、.
依据题意补全图形；
用等式表示线段、、之间的数量关系，并加以证明。
(怀柔)28. 在正方形abcd中，点h在对角线bd上（与点b、d不重合），连接ah，将ha绕点h顺时针旋转 90与边cd (或cd延长线)交于点p，作hq⊥bd交射线dc于点q.
1)如图1:
依题意补全图1；
判断dp与cq的数量关系并加以证明；
2)若正方形abcd的边长为，当 dp=1时，试求∠phq的度数。
石景山）28．在正方形abcd中，e为边cd上一点，连接be．
1）请你在图1画出△bem，使得△bem与△bec关于直线be对称；
2）若边ad上存在一点f，使得af+ce=ef，请你在图2中**∠abf与。
cbe的数量关系并证明；
3）在（2）的条件下，若点e为边cd的三等分点，且cecos∠fed的思路．（可以不写出计算结果）．
图1图2备用图。
门头沟)28．在正方形abcd中，连接bd．
1）如图1，ae⊥bd于e．直接写出∠bae的度数．
2）如图1，在（1）的条件下，将△aeb以a旋转中心，沿逆时针方向旋转30°后得到△ab'e'，ab'与bd交于m，ae'的延长线与bd交于n．
依题意补全图1； ②用等式表示线段bm、dn和mn之间的数量关系，并证明．
3）如图2，e、f是边bc、cd上的点，△cef周长是正方形abcd周长的一半，ae、af分别与bd交于m、n，写出判断线段bm、dn、mn之间数量关系的思路．（不必写出完整推理过程）
丰台)28. 在矩形abcd中，将对角线ca绕点c逆时针旋转得到ce，连接ae，取ae的中点f，连接bf，df.
1）若点e在cb的延长线上，如图1.
依题意补全图1；
判断bf与df的位置关系并加以证明；
2）若点e**段bc的下方，如果∠ace=90°，∠acb=28°，ac=6，请写出求bf长的思路。（可以不写出计算结果）
三、中点问题。
东城） 28. 如图，等边△abc，其边长为1， d是bc中点，点e，f分别位于ab，ac边上，且∠edf=120°.
1）直接写出de与df的数量关系；
2）若be，de，cf能围成一个三角形，求出这个三角形最大内角的度数；（要求：写出思路，画出图形，直接给出结果即可）
3）思考：ae+af的长是否为定值？如果是，请求出该值，如果不是，请说明理由。
西城）28．在正方形中，点是射线上一个动点，连接，，点，分别为，的中点，连接交于点．
1）如图1，当点与点重合时，的形状是。
2）当点**段的延长线上时，如图2．
依题意补全图2； ②判断的形状，并加以证明；
3）点与点关于直线对称，且点**段上，连接，若点恰好在直线上，正方形的边长为2，请写出求此时长的思路．（可以不写出计算结果）
图1图2图3
备用图。四、轴对称变换。
燕山)28．在等边△abc外侧作直线ap，点b关于直线ap的对称点为d，连接ad，bd，cd，其中cd交直线ap于点e．设∠pab＝，∠ace＝，∠aec＝．
1) 依题意补全图1；
2) 若＝15°，直接写出和的度数；
3) 如图2，若60°<<120°，判断，的数量关系并加以证明；
3 请写出求大小的思路．（可以不写出计算结果）
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