401. 如图，在δabc中，∠acb＝90°，bc＝a,ac＝b,d是斜边ab上的点，以cd为棱把它折成直二面角a—cd—b后，d在怎样的位置时，ab为最小，最小值是多少？
解析： 设∠acd＝θ，则∠bcd＝90°-θ作am⊥cd于m，bn⊥cd于n，于是am＝bsinθ,cn＝asinθ.
mn＝｜asinθ-bcosθ｜，因为a—cd—b是直二面角，am⊥cd，bn⊥cd，∴am与bn成90°的角，于是ab＝＝≥
当θ＝45°即cd是∠acb的平分线时，ab有最小值，最小值为。
402.自二面角内一点分别向两个面引垂线，求证：它们所成的角与二面角的平面角互补。
已知：从二面角α—ab—β内一点p，向面α和β分别引垂线pc和pd，它们的垂足是c和d.求证：∠cpd和二面角的平面角互补。
证：设过pc和pd的平面pcd与棱ab交于点e，pc⊥α，pd⊥β
pc⊥ab，pd⊥ab
ce⊥ab，de⊥ab
又∵ceα，deβ，∴ced是二面角α—ab—β的平面角。
在四边形pced内：∠c＝90°，∠d＝90°
∠cpd和二面角α—ab—β的平面∠cbd互补。
403.求证：在已知二面角，从二面角的棱出发的一个半平面内的任意一点，到二面角两个面的距离的比是一个常数。
已知：二面角α—ed—β，平面过ed，a∈，ab⊥α，垂足是垂足是c.
求证：ab∶ac＝k(k为常数)
证明：过ab、ac的平面与棱de交于点f，连结af、bf、cf.
ab⊥α，ac⊥β.ab⊥de，ac⊥de.
de⊥平面abc.∴bf⊥de，af⊥de，cf⊥de.
bfa，∠afc分别为二面角α—de—，—de—β的平面角，它们为定值。
在rtδabf中，ab＝af·sin∠afb.
在rtδafc中，ac＝af·sin∠afc，得：
＝定值。404. 如果直线l、m与平面α、β满足l＝β∩l∥α,mα和m⊥.那么必有( )
a.α⊥且l⊥mb.α⊥且m∥β
且l⊥md.α∥且α⊥
解析：∵mα,m⊥.
又∵m⊥,βl. ∴m⊥l.
应选a.说明本题考查线面垂直、面面垂直及综合应用推理判断能力及空间想象能力。
405. 如图，在梯形abcd中，ad∥bc，∠abc＝，ab＝a,ad＝3a,且∠adc＝arcsin，又pa⊥平面abcd，ap＝a.求：
(1)二面角p—cd—a的大小(用反三角函数表示)；(2)点a到平面pbc的距离。
解析：(1)作cd′⊥ad于d′，∴abcd′为矩形，cd′＝ab＝a，在rtδcd′d中。
∠adc＝arcsin,即⊥d′dc＝arcsin，sin∠cdd′＝＝
cd＝a ∴d′d＝2a
ad＝3a,∴ad′＝a＝bc
又在rtδabc中，ac＝＝a,pa⊥平面abcd，∴pa⊥ac，pa⊥ad，pa⊥ab.
在rtδpab中，可得pb＝a.
在rtδpac中，可得pc＝＝a.
在rtδpad中，pd＝＝a.
pc2+cd2＝(a)2+(a)＝8a2＜(a)2
cos∠pcd＜0，则∠pcd＞90°
作pe⊥cd于e，e在dc延长线上，连ae，由三垂线定理的逆定理得ae⊥cd，∠aep为二面角p—cd—a的平面角。
在rtδaed中∠ade＝arcsin，ad＝3a.
ae＝ad·sin∠ade＝3a·＝a.
在rtδpae中，tan∠pea＝＝＝
∠aep＝arctan，即二面角p—cd—a的大小为arctan.
2)∵ad⊥pa，ad⊥ab，∴ad⊥平面pab.
bc∥ad，∴bc⊥平面pab.
平面pbc⊥平面pab，作ah⊥pb于h，∴ah⊥平面pbc.
ah为点a到平面pbc的距离。
在rtδpab中，ah＝＝＝a.
即a到平面pbc的距离为a.
说明 (1)中辅助线ae的具体位置可以不确定在dc延长线上，而直接作ae⊥cd于e，得pe⊥cd，从而∠pea为所求，同样可得结果，避免过多的推算。(2)中距离的计算，在学习几何体之后可用“等体积法”求。
406. 如图，在二面角α—l—β中，a、b∈α，c、d∈l，abcd为矩形，p∈β，pa⊥α，且pa＝ad，m、n依次是ab、pc的中点。
1)求二面角α—l—β的大小；
2)求证：mn⊥ab；
3)求异面直线pa与mn所成角的大小。
解析：(1)连pd，∵abcd为矩形，∴ad⊥dc，即ad⊥l.又pa⊥l，∴pd⊥l.
p、d∈β，则∠pda为二面角α—l—β的平面角。
pa⊥ad，pa＝ad，∴δpad是等腰直角三角形，∴∠pda＝45°，即二面角α—l—β的大小为45°.
2)过m作me∥ad，交cd于e，连结ne，则me⊥cd，ne⊥cd，因此，cd⊥平面mne，∴cd⊥mn.∵ab∥cd，∴mn⊥ab
3)过n作nf∥cd，交pd于f，则f为pd的中点。连结af，则af为∠pad的角平线，∴∠fad＝45°，而af∥mn，∴异面直线pa与mn所成的45°角。
407. 如图，在三棱柱abc—a′b′c′中，四边形a′abb′是菱形，四边形bcc′b′是矩形，c′b′⊥ab.
1)求证：平面ca′b⊥平面a′ab；
2)若c′b′＝2，ab＝4，∠abb′＝60°，求ac′与平面bcc′b′所成角的大小。(用反三角函数表示)
解析：(1)∵在三棱柱abc—a′b′c中，c′b′∥cb，∴cb⊥ab.∵cb⊥bb′，ab∩bb′＝b，∴cb⊥平面a′ab.∵cb平面ca′b，∴平面ca′b⊥平面a′ab
2)由四边形a′abb′是菱形，∠abb′＝60°，连ab′，可知δabb′是正三角形。取 b b′中点h，连结ah，则ah⊥bb′.又由c′b′⊥平面a′ab，得平面a′abb′⊥平面 c′b′bc，而ah垂直于两平面交线bb′，∴ah⊥平面c′b′bc.
连结c′h，则∠ac′h为 ac′与平面bcc′b′所成的角，ab′＝4，ah＝2，于是直角三角形c′b′a中，a′c＝5，在rtδahc′中，sin∠ac′h＝∴∠ac′h＝arcsin,∴直线ac′与平面bcc′b′所成的角是arcsin.
408. 已知四棱锥p—abcd，它的底面是边长为a的菱形，且∠abc＝120°，pc⊥平面abcd，又pc＝a，e为pa的中点。
1)求证：平面ebd⊥平面abcd；
2)求点e到平面pbc的距离；
3)求二面角a—be—d的大小。
1)证明： 在四棱锥p—abcd中，底面是菱形，连结ac、bd，交于f，则f为ac的中点。
又e为ad的中点，∴ef∥pc
又∵pc⊥平面abcd，∴ef⊥平面平面ebd.
平面ebd⊥平面abcd.
2)∵ef∥pc，∴ef∥平面pbc
e到平面pbc的距离即是ef到平面pbc的距离。
过f作fh⊥bc交bc于h，pc⊥平面abcd，fh平面abcd
pc⊥fh.
又bc⊥fh，∴fh⊥平面pbc，则fh是f到平面pbc的距离，也是e到平面pbc的距离。
∠fch＝30°，cf＝a.
fh＝cf＝a.
3)取be的中点g，连接fg、ag由(1)的结论，平面bde⊥平面abcd，af⊥bd，af⊥平面bdc.
bf＝ef＝，∴fg⊥be，由三垂线定理得，ag⊥be，∠fga为二面角d—be—a的平面角。
fg＝×＝a,af＝a.
tg∠fga＝＝,fag＝arctg
即二面角a—be—d的大小为arctg
409. 若δabc所在的平面和δa1b1c1所在平面相交，并且直线aa1、bb1、cc1相交于一点o，求证：
1)ab和a1b1、bc和b1c1、ac和a1c1分别在同一平面内；
2)如果ab和a1b1、bc和b1c1、ac和a1c1分别相交，那么交点在同一直线上(如图).
1)证明：∵aa1∩bb1＝o,aa1、bb1确定平面bao，a、a1、b、b1都在平面abo内，ab平面abo；a1b1平面abo.
同理可证，bc和b1c1、ac和a1c1分别在同一平面内。
2)分析：欲证两直线的交点在一条直线上，可根据公理2，证明这两条直线分别在两个相交平面内，那么，它们的交点就在这两个平面的交线上。
证明：如图，设ab∩a1b1＝p；
ac∩a1c1＝r；
面abc∩面a1b1c1＝pr.
bc面abc；b1c1面a1b1c1，且 bc∩b1c1＝q ∴ q∈pr,即 p、r、q在同一直线上。
410. 点p、q、r分别在三棱锥a-bcd的三条侧棱上，且pq∩bc＝x,qr∩cd＝z,pr∩bd＝y.求证：x、y、z三点共线。
解析： 证明点共线的基本方法是利用公理2，证明这些点是两个平面的公共点。
证明 ∵p、q、r三点不共线，∴p、q、r三点可以确定一个平面α.
x∈pq，pqα，∴x∈α，又x∈bc，bc面bcd，∴x∈平面bcd.
点x是平面α和平面bcd的公共点。同理可证，点y、z都是这两个平面的公共点，即点x、y、z都在平面α和平面bcd的交线上。
411. 直线m、n分别和平行直线a、b、c都相交，交点为a、b、c、d、e、f，如图，求证：直线a、b、c、m、n共面。
解析： 证明若干条直线共面的方法有两类：一是先确定一个平面，证明其余的直线在这个平面里；二是分别确定几个平面，然后证明这些平面重合。
证明 ∵a∥b,∴过a、b可以确定一个平面α.
a∈a,aα，∴a∈α,同理b∈a.
又∵a∈m，b∈m,∴mα.同理可证nα.
b∥c,∴过b,c可以确定平面β，同理可证mβ.
平面α、β都经过相交直线b、m,平面α和平面β重合，即直线a、b、c、m、n共面。
412. 证明两两相交而不共点的四条直线在同一平面内。
已知：如图，直线l1，l2，l3，l4两两相交，且不共点。
求证：直线l1，l2，l3，l4在同一平面内。
解析：证明几条直线共面的依据是公理3及推论和公理1.先证某两线确定平面α，然后证其它直线也在α内。
证明：图①中，l1∩l2＝p， l1,l2确定平面α.
又 l1∩l3＝a,l2∩l3＝c, ∴c,a∈α.
故 l3α.
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