六年级奥数：不定方程（一）
年级班姓名得分
一、填空题。
1.已知1999×△+4×□=9991,其中△, 是自然数，那么。
2.数学测试卷有20道题。做对一道得7分；做错一道扣4分；不答得0分。张红得了100分，她有道题没答。
是自然数， ,字母a表示一个数字，x是。
4.不定方程的整数解是。
5.某青年2023年的年龄等于出生年份各数字的和，那么，他的出生年份是 .
6.如果在分数的分子分母上分别加上自然数a、b,所得结果是，那么a+b的最小值等于 .
7.40只脚的蜈蚣与3个头的龙同在一个笼子中，共有26个头和298只脚，若40只脚的蜈蚣有1个头，那么3个头的龙有只脚。
8.甲、乙两个小队的同学去植树。甲小队一人植树6棵，其余每人都植树13棵；乙小队有一人植树5棵，其余每人都植树10棵。
已知两小队植树棵数相等，且每小时植树的棵数大于100而不超过200,那么甲、乙两小队共有人。
9.小明用5天时间看完了一本200页的故事书。已知第二天看的页数比第一天多，第三天看的页数是第。
一、二两天看的页数之和，第四天看的页数是第。
二、三两天看的页数之和，第五天看的页数是第。
三、四两天看的页数之和。那么，小明第五天至少看了。
页。10.一群猴子采摘水蜜挑。
猴王不在的时候，一个大猴子一小时可采摘15公斤，一个小猴子一小时可采11公斤；猴王在场监督的时候，大猴子的和小猴子的必须停止采摘，去伺侯猴王。有一天，采摘了8小时，其中只有第一小时和最后一小时有猴王在场监督，结果共采摘3382公斤水密桃，那么在这个猴群中，大猴子共有个。
二、解答题。
11.今有公鸡每只五个钱，母鸡每只三个钱，小鸡每个钱三只。用100个钱买100只鸡，问公鸡、母鸡、小鸡各买了多少只？
12.某地收取电费的标准是：每月用电不超过50度，每度收5角；如果超过50度，超出部分按每度8角收费。某月甲用户比乙用户多交3元3角电费，这个月甲、乙各用了多少度电？
13.哲洙替爸爸买了50张圣诞节卡片。他先到“甲”文具店去买了几张每张500分钱的卡片，剩余的卡片到“乙”文具店去买了。
“乙”文具店的一张卡**是以每百分为单位，且小于2000分。哲洙买了50张卡片共花了30400分。请你写出他在“乙”文具店买的卡片数量的所有可能情形。
14.现有两小堆小石头，如果从第一堆中取出100块放进第二堆，那么第二堆比第一堆多一倍，相反，如果从第二堆中取出一些放进第一堆，那么第一堆比第二堆多五倍。问第一堆中可能的最少石头块数等于多少？
并在这种情况下求出第二堆的石头块数。答案。
提示： △是小于4的奇数，检验△=1或3两种情况即可。
设张红做对x道题，做错y道题，依题意得：
所以 ≥.又 x+y≤20
所以 x≤20-y≤20,故 ≤x≤20.
又4|4 y,4|100,由①知4|7 x,又4与7互质，所以4| x,故 x=16或20.
当x=20时，由①得y=10,与②产生矛盾。
因此x=16,代入①得y=3.张红共有20-x-y=1(道)题没做。
根据题意， ,整理得，.
因为x为自然数，37是质数，所以4a+1一定能被37整除，推知a=9,因此。
4. 没有整数解。
若方程有整数解，则， ,因此，且3|17,产生矛盾，因此原方程没有整数解。
设他出生年份为，依题意，得：
整理得： 所以
由0≤b≤9得≤≤,即≤a≤.
故a=7,从而b=5,他出生于2023年。
依题意，有，于是可得12(28+a)=7(43+b)
即 12a+35=7b ①
显然，7|35.又因(12,7)=1,故7|a.
由①知， b随a增大而增大，所以a取最小值7时， b也取最小值，是17.
所以， a+b的最小值是7+17=24.
设有x只蜈蚣，y只三头龙，每只三头龙有n只脚，依题意得方程组：
×40-②,得，即。
由于x和y都是正整数，从①式得y≤8.又因为，所以从③式得y=7, ,由此得n=14.
设甲小队有x人，乙小队有y人。由两小队植树棵数相等，得到。
13 x-7=10 y-5.
因为上式右端个位数为5,所以13x的个位数应是2,得到x=4, y=5是上式的一组解，且x每增大10, y就增大13,仍是上式的解。
为使10y-5在100与200之间，只有y =5+13=18,所以乙小队有18人，甲小队有4+10=14(人),共有18+14=32(人).
设小明第一天看了a页，第二天看了b页，则前五天看的页数依次为：
a, b, a+b, a+2b, 2a+3b.
上面各个数的和是200,得到。
5a+7b=200.
因为5a与200都是5的倍数，所以b是5的倍数。因为b>a,所以上式只有两组解：
b=20, a=12; b=25, a=5.
将这两组解分别代入2a+3b,得到第五天至少看了84页。
以5只大猴子为一组，根据题意，一组大猴子这天可采摘15×38(千克).同理，以5只小猴子为一组，这天可采摘11×38(千克).设有大猴子x组，小猴子y组，则有，易知其整数解为x=3, y=4,所以有大猴子5×3=15(只).
11. 设公鸡、母鸡、小鸡各买x, y, z只，由题意列方程组：
3×①-整理得 .
又4|4 y,4|100,所以4|7 x,又(4,7)=1,所以4| x.
又≤.所以x=4,8或12.
x=4时，y=18, z=78; x=8时，y=11,z=81; x=12时，y=4,z=84.
即可能有三种情况：4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡；或8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡；12只公鸡，4只母鸡，84只小鸡。
12. 因为33既不是5的倍数又不是8的倍数，所以甲用电超过50度，乙用电不足50度。设甲用电(50+x)度，乙用电(50- y)度。因为甲比乙多交33角电费，所以有：
8x+5y=33.
容易看出x=1时，y=5.推知甲用电51度，乙用电45度。
13. 设哲洙在乙文具店买了x张卡片，花了100分。由共花钱数可列方程。
整理得 因为x是小于50的54的约数，则x与y的关系如下表：
因为乙文具店一张卡片的**小于2000分，推知y小于2000÷100=20,即y-5<15,所以x的可能取值是6,9,18,27.
14. 设第一堆有x块石头，第二堆有y块石头，并设z为从第二堆取出放进第一堆的块数，由题意：
由①得 .代入②整理得 .
所以 .又x,z自然数，所以11|z+1,当z=10时， x有最小值，此时x=170,y=40,即第一堆中最少有170块。在这种情况下，第二堆40块。
六年级奥数不定方程
1 求的自然数解。2 求的自然数解。3 求的自然数解。4 求的最小自然数解。5 求方程组的正整数解。6 求方程组的正整数解。7 求方程组的正整数解。8 求方程组的正整数解。9 一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。如果弹子数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有...
六年级奥数不定方程
第16周不定方程。专题简析 当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x 3y 9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个 如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x 3y 9的解有 x 2.4 x 2.7 x 3.06 x...
六年级奥数不定方程
知识要点 如果一个方程 组 的未知数的个数多于方程的个数，那么这个方程 组 就叫做不定方程 组 不定方程是数论中最古老的一个分支，它的研究在我国已延续了数千年，至今仍是令人感兴趣的课题。不定方程的内容非常丰富，但在小学数学竞赛中，我们主要讨论二元一次不定方程，形如ax by c a b c为已知的整...