【知识要点】
如果一个方程（组）的未知数的个数多于方程的个数，那么这个方程（组）就叫做不定方程（组）。
不定方程是数论中最古老的一个分支，它的研究在我国已延续了数千年，至今仍是令人感兴趣的课题。
不定方程的内容非常丰富，但在小学数学竞赛中，我们主要讨论二元一次不定方程，形如ax±by=c(a、b、c为已知的整数)的方程，我们称为二元一次不定方程，又称丢番图方程，以纪念生于公元三世纪的希腊数学家丢番图，他写了一本关于这类方程的书。
一个不定方程一般总有无穷多组解，但小学阶段主要涉及整系数不定方程的整数解。不定方程通常利用不等式及整除性来求解。
典型例题】例1 一天，张明问李军的生日，李军说：“将我生日的月份数乘以31，生日的日期数乘以12，相加后得347。”你知道李军的生日是几月几日吗？
分析：如果设李军生日的月份数为x，生日的日期数为y，则原题实际上就是求不定方程31x+12y=347的正整数解。
解：设李军生日的月份数为x，生日的日期数为y，列方程：31x+12y=347
变形后得：y1）
即y=29-3x+
x、y为整数，且1≤x≤12，5x-1能被12整除。
x=5把x=5代入（1），得所列方程的整数解为：
答：李军的生日是5月16日。
例2 我国古代有一位著名的数学家张丘建，曾经提出并解决了“百钱买鸡”这个有名的数问题：“一百元买一百只鸡，公鸡五元钱一只，母鸡三元钱一只，小鸡一元钱三只，公鸡、母鸡、小鸡各买几只？”
分析：该题共有三个未知数，若设买公鸡x只，买母鸡y只，买小鸡z只，则可建方方程5x+3y+×（100-x-y）=100
化简整理得：7x+4y=100
由此有：1≤x≤ 即1≤x≤14
注意到100和4y都是4的倍数，而7和4互质，所以x也应是4的倍数，x就是三种可能。
x=4时，y=18；x=8时，y=11；x=12时，y=4。所以此题有三个答案：1.
买公鸡4只，母鸡18只，小鸡78只；2.买公鸡8只，母鸡11只，小鸡84只；3.买公鸡 12只，母鸡4只，小鸡84只。
例3 红旗剧场共有座位1000个，排成若干排，总排数大于16，从第二排起，每排比前一排多一个座位。问：居场共有多少排座位？
分析：设剧声共有x排座位，要找到总座位数与排数的关系，还必须设第一排有座位m个，那么第二排有座位（m+1）个，第三排有座位(m+2)个，……第x排有座位（m+x-1）个，剧场共有座位m+·x个（想一想，这是怎样得到的）。因剧场总座位数已知，所以就可以得到有关x和m的一个不定方程。
解：设剧场共有x排座排，第一排有m个座位，则第x排有座位(m+x-1)个，根据题意列方程得：
m+·x=1000
将方程变为：
因为x,m均为整数，所以x为奇数，且x是1000的约数。
1000的奇约数只有5，25，125
x＞16，∴x=5不合题意。
又当x=125时，m=8-62，不合题意。
当x=25时，m=28，符合题意。
答：剧场共有25排座位。
例4 新世纪学校的学生总数是一个三位数，平均每个班36个。统计员提供的学生总数却比实际总人数少180人。原来，他在记录时粗心地将这个三位数的百位、十位上的数字对调了。
这个学校学生总数最多是多少人？（《小学生数学报》第九届数学竞赛决赛试题）
分析：假设这个学校总人数是abc,那么abc- bac=180，化简a－b=2，根据这个不定方程，结合数的整除性，就可以确定这个学校学生的总人数。
解：设这个学校学生总人数是abc,则。
abc-bac=180
即（100a+10b+c）－(100b+10a+c)=180
化简得 a-b=2
这个学校的总人数只能是：20□，31□，42□，53□，64□，75□，86□，97□。
又知道总人数是36的倍数，直接除以36，可知：总人数只能是或972。
答：这所学校的学生总人数最多是972人。
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