【求余数】
（2024年江苏宜兴市第五届小学生数学竞赛试题）
一组，就可得到331组，尚余4个6。
而6666÷7=952……2。所以，原式的余数是2。
例2 9437569与8057127的乘积被9除，余数是__。
（《现代小学数学》邀请赛试题）
讲析：一个数被9除的余数与这个数各位数字之和被9除的余数是一样的。
9437569各位数字之和除以9余7；8057127各位数字之和除以9余3。
所以，9437569与8057127的乘积被9除，余数是3。
例3 在这1994个数中，选出一些数，使得这些数中的每两个数的和都能被26整除，那么这样的数最多能选出___个。
（2024年全国小学数学奥林匹克初赛试题）
讲析：可将这1994个数，分别除以26。然后，按所得的余数分类。
要使两个数的和是26的倍数，则必须使这两个数分别除以26以后，所得的余数之和等于26。
但本题要求的是任意两个数的和都是26的倍数，故26的倍数符合要求。这样的数有1994÷26=76（个）……余18（个）。但被26除余13的数，每两个数的和也能被26整除，而余数为13的数共有77个。
所以，最多能选出77个。
【同余问题】
例1 一个整数，除，得到相同的余数（余数不为0）。这个整数是___
（全国第一届“华杯赛”初赛试题）
讲析：如果一个整数分别除以另两个整数之后，余数相同，那么这个整数一定能整除这两个数的差。因此，问题可转化为求（300—262）和（262—205）的最大公约数。
不难求出它们的最大公约数为19，即这个整数是19。
例2 小张在计算有余数的除法时，把被除数113错写成131，结果商比原来多3，但余数恰巧相同。那么该题的余数是多少？（2024年上海市小学数学竞赛试题）
讲析：被除数增加了131-113=18，余数相同，但结果的商是3，所以，除数应该是18÷3=6。又因为113÷6的余数是5，所以该题的余数也是5。
例3 五只猴子找到一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意去睡觉，明天再说。夜里，一只猴子偷偷起来，吃掉一只桃子，剩下的桃子正好平分五等份，它拿走自己的一份，然后去睡觉；第二只猴子起来，也吃掉一只桃子，剩下的桃子也正好分成五等份，它也拿走了自己的一份，然后去睡觉。第。
三、四、五只猴子也都这样做。问：最初至少有___个桃子。
（哈尔滨市小学数学竞赛试题）
讲析：因为第一只猴子把桃5等分后，还余1个桃；以后每只猴子来时，都是把前一只猴子剩下的4等份再分成5等份，且每次余1个桃子。于是，我们可设想，如果另加进4个桃子，则连续五次可以分成5等份了。
加进4个桃之后，这五只猴每次分桃时，不再吃掉一个，只需5等份后，拿走一份。
因为4与5互质，每次的4份能分成5等份，这说明每次等分出的每一份桃子数，也能分成5等份。这样，这堆桃子就能连续五次被5整除了。所以，这堆桃子至少有5×5×5×5×5-4=3121（个）。
例4 在这30个自然数中，最多能取出___个数，使取出的这些数中，任意两个不同的数的和都不是7的倍数。
（上海市第五届小学数学竞赛试题）
讲析：我们可将1到30这30个自然数分别除以7，然后按余数分类。
余数是余数是
余数是余数是
余数是余数是
余数是要使两数之和不是7的倍数，必须使这两个数分别除以7所得的余数之和不等于7。
所以，可以取余数是的数，不取余数是的数。而余数为0的数只取一个。
故最多可以取15个数。
附送：2019-2024年小学奥数六年级《利用间接条件》经典专题点拨教案。
【利用隐含的间接条件】 发现和利用隐含的间接条件来解答题目，往往能克服所学知识不够所造成的困难，大大减少计算的时间。例如。
如图4.65，已知正方形面积为18平方厘米，求阴影部分的面积。
一般解法是用正方形面积，减去圆的面积。但在小学阶段，大家还不会求圆的半径或直径怎么办呢？
因为圆面积公式是。
刃而解。至于能否求出r或d这样的直接条件，是并不重要的。所以，可以用下面的方法来解答：
便是。18-14.3=3.87（平方厘米）
阴影部分的面积便是。
18-14.13=3.87（平方厘米）
（3）若把正方形面积扩大2倍，则面积为36平方厘米，新正方形的边长就是6厘米，即随之也扩大了2倍的新圆的直径为6厘米，半径为3厘米。所以随之而扩大了2倍的阴影部分的面积是。
=7.74（平方厘米）
原来的阴影部分的面积便是。
7.74÷2=3.87（平方厘米）
又如，如图4.66，abcd为矩形，里面有一个最大的半圆，oc=10厘米，求阴影部分的面积。
解题时，可将矩形分割为两个小正方形，并连结o、d。因为△doc是等腰三角形，oc=od=10厘米，所以。
故阴影部分的面积便是。
=21.5（平方厘米）
【利用定比】 利用题目中不变的“定比”来解题，有时也能使题目得到较快地解答。这也是利用间接条件去解答题目。
我们仍以上面的第一个例子（图4.65）为例。按照扩、缩图形的思路，可将它一分为四，得到图4.67。
小正方形的面积和阴影部分的面积也会改变。不过，变化中有个不变的因素，即阴影部分面积和小正方形面积之比是不变的。实际上，这也是题目中的一个间接条件。
设小正方形边长为a，则阴影部分面积占小正方形面积的。
所以，原图阴影部分的面积是。
=3.87（平方厘米）
或者是18×21.5％=3.87（平方厘米）
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