基本概念部分(配2015版新教材使用)
标★为必背掌握内容其余为熟读理解内容。
1、数与代数。
数的认识。一、整数与小数
1.整数:在数物体的时候,用来表示物体个数的1,2,3……叫做自然数,0也是自然数,它们都是整数。自然数的个数是无限的,没有最大的自然数,0是最小的自然数。
2.小数:把整数1平均分成10份、100份、1000份…… 得到的十分之几、百分之几、千分之几…… 可以用小数表示。
一位小数表示十分之几,两位小数表示百分之几,三位小数表示千分之几……
3.计数单位:一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位。
4.数位:计数单位按照一定的顺序排列起来,它们所占的位置叫做数位。
5.整数和小数里,每相邻两个计数单位之间的进率都是10。
附:数位顺序表。
6.小数的分类
纯小数:整数部分是零的小数,叫做纯小数。如: 0.25 、 0.368 都是纯小数。
带小数:整数部分不是零的小数,叫做带小数。 如: 3.25 、 5.26 都是带小数。
有限小数:小数部分的数位是有限的小数,叫做有限小数。如: 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小数。
无限小数:小数部分的数位是无限的小数,叫做无限小数。如: 4.33 ……3.1415926 ……
无限不循环小数:小数部分数字排列无规律且位数无限,这样的小数叫做无限不循环小数。 如:∏
循环小数:小数部分有一个数字或者几个数字依次不断重复出现,这个数叫做循环小数。 如: 3.555 ……
一个循环小数的小数部分,依次不断重复出现的数字叫做这个循环小数的循环节。
如: 3.99 ……的循环节是“ 9 ” 0.5454 ……的循环节是“ 54 ”
纯循环小数:循环节从小数部分第一位开始的,叫做纯循环小数。如: 3.111 ……0.5656 ……
混循环小数:循环节不是从小数部分第一位开始的,叫做混循环小数。如:3.1222 ……0.03333 ……
写循环小数的时候,为了简便,小数的循环部分只需写出一个循环节,并在这个循环节的首、末位数字上各点一个圆点。如果循环节只有一个数字,就只在它的上面点一个点。
7.小数的性质:小数的末尾添上0或去掉0,小数的大小不变。
8.小数点向右移动一位、两位、三位……原来的数分别扩大10倍、100倍、1000倍……
小数点向左移动一位、两位、三位……原来的数分别缩小10倍、100倍、1000倍……
二、数的读法和写法
1.整数的读法:从高位到低位,一级一级地读。读亿级、万级时,先按照个级的读法去读,再在后面加“亿”或“万”字。每一级末尾的0都不读出来,其它数位连续有几个0都只读一个零。
2.整数的写法:从高位到低位,一级一级地写,哪一个数位上一个单位也没有,就在那个数位上写0。
3.小数的读法:读小数的时候,整数部分按照整数的读法读,小数点读作“点”,小数部分从左向右顺次读出每一位数位上的数字。
4.小数的写法:写小数的时候,整数部分按照整数的写法来写,小数点写在个位右下角,小数部分顺次写出每一个数位上的数字。
三、数的改写
1.近似数:根据实际需要,把一个较大的数省略某一位后面的尾数,用近似数来表示。 如:1302490015 省略亿后面的尾数是 13 亿。
2.四舍五入法:要省略的尾数数位上的数是4 或者比4小,就把尾数去掉;如果尾数数位上的数是5或者比5大,就把尾数舍去,并向它的前一位进1。
如:省略 345900 万后面的尾数约是 35 万。
3.大小比较
1)比较小数的大小:先看它们的整数部分,整数部分大的那个数就大;整数部分相同的,十分位上的数大的那个数就大;十分位上的数也相同的,百分位上的数大的那个数就大……
2)比较分数的大小:分母相同的分数,分子大的分数比较大;分子相同的数,分母小的分数大。分数的分母和分子都不相同的,先通分再比较。
四、数的整除。
1.数的整除:整数a除以整数b(b≠0),除得的商是整数而没有余数,我们就说a能被b整除,或者说b能整除a 。
如果数a能被数b(b≠0)整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的因数(或a的约数)。倍数和因数是相互依存的。如:
因为35能被7整除,所以35是7的倍数,7是35的因数。
2.一个数的因数的个数是有限的,其中最小的因数是1,最大的因数是它本身。
如:10的因数有,其中最小的因数是1,最大的因数是10。
3.一个数的倍数的个数是无限的,其中最小的倍数是它本身,没有最大的倍数。
如:3的倍数有……其中最小的倍数是3 ,没有最大的倍数。
4.个位上是的数,都能被2整除,如,都能被2整除。
5.个位上是0或5的数,都能被5整除,如都能被5整除。
6.一个数的各位上的数的和能被3整除,这个数就能被3整除,如都能被3整除。
7.一个数各位数上的和能被9整除,这个数就能被9整除。
8.能被3整除的数不一定能被9整除,但是能被9整除的数一定能被3整除。
9.一个数的末两位数能被4(或25)整除,这个数就能被4(或25)整除。
如都能被4整除都能被25整除。
10.一个数的末三位数能被8(或125)整除,这个数就能被8(或125)整除。
如都能被8整除都能被125整除。
11.能被2整除的数叫做偶数。不能被2整除的数叫做奇数。
0也是偶数。自然数按能否被2 整除的特征可分为奇数和偶数。
12.一个数,如果只有1和它本身两个因数,这样的数叫做素数(或质数),100以内的质数有25个:
13.一个数,如果除了1和它本身还有别的因数,这样的数叫做合数,如都是合数。
14.1不是素数也不是合数,自然数除了0和1外,不是素数就是合数。
15.每个合数都可以写成几个素数相乘的形式。其中每个素数都是这个合数的因数,叫做这个合数的质因数,如15=3×5,3和5 叫做15的质因数。
16.把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。如:把28分解质因数 28=2×2×7
17.几个数公有的因数,叫做这几个数的公因数。其中最大的一个,叫做这几个数的最大公因数,如12的因数有;18的因数有。其中是12和18的公因数,6是它们的最大公因数。
18.公因数只有1的两个数,叫做互质数,成互质关系的两个数,有下列几种情况:
1)1和任何自然数互质。 如1和10
2)相邻的两个自然数互质。 如8和9
3)两个不同的素数互质。 如11和19
4)当合数不是素数的倍数时,这个合数和这个素数互质。 如16和5
5)两个合数的公因数只有1时,这两个合数互质。 如4和9
19.如果较小数是较大数的因数,那么较小数就是这两个数的最大公因数。
20.几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数,如2的倍数有 …3的倍数有 …其中……是的公倍数,6是它们的最小公倍数。
21.如果较大数是较小数的倍数,那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
22.如果两个数是互质数,那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。 如8和9,最小公倍数是72
23.几个数的公因数的个数是有限的,而几个数的公倍数的个数是无限的。
五、分数和百分数。
1.分数的意义:把单位“1”平均分成若干份,表示这样的一份或者几份的数叫做分数。
分母表示把单位“1”平均分成多少份;分子表示有这样的多少份。
把单位“1”平均分成若干份,表示其中的一份的数,叫做分数单位。
分数的基本性质:分数的分子和分母都乘以或者除以相同的数(零除外),分数的大小不变。
2.分数的分类
真分数:分子比分母小的分数叫做真分数。真分数小于1。
假分数:分子比分母大或者分子和分母相等的分数,叫做假分数。假分数大于或等于1。
带分数:假分数可以写成整数与真分数合成的数,通常叫做带分数。
3.约分和通分
把一个分数化成同它相等但是分子、分母都比较小的分数 ,叫做约分。
分子分母是互质数的分数,叫做最简分数。
把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数,叫做通分。
约分的方法:用分子和分母的公因数(1除外)去除分子、分母;通常要除到得出最简分数为止。
通分的方法:先求出原来的几个分数分母的最小公倍数,然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。
4.百分数:表示一个数是另一个数的百分之几的数叫做百分数,也叫做百分率或百分比。百分数通常用“%”来表示。
5.数的互化
小数化分数:原来有几位小数,就在1的后面写几个零作分母,把原来的小数去掉小数点作分子,能约分的要约分。
分数化小数:用分母去除分子。不能除尽的,一般保留三位小数。
注:一个最简分数,如果分母中除了2和5以外,不含有其他的质因数,这个分数就能化成有限小数。
小数化百分数:只要把小数点向右移动两位,同时在后面添上百分号。
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