全国高中数学联赛训练题(一)
一、填空题（每小题8分，共64分）
1. 设函数，且，，则 ．
2. 圆内接四边形则此圆的半径为 ．
3. 函数的值域是 ．
4. 函数的最大值是。
5. 设，则的值为 ．
6. 已知椭圆，以为直角顶点，边与椭圆交于两点若面积的最大值为，则的值为 ．
7. 如果正整数的各位数字之和等于5，那么称为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列若则 ．
8. 将2个和2个共4个字母填在如图所示的25个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相同字母既不同行也不同列，则不同的填法共有种（用数字作答）.
二、解答题（共56分）
9. (16分)已知椭圆的两个焦点为，且椭圆与直线相切。
1）求椭圆的方程；
2）过作两条互相垂直的直线，与椭圆分别交于及，求四边形面积的最大值与最小值。
10．(20分) 在平面上有一系列点对每个正整数，点位于函数的图象上．以点为圆心的⊙与轴都相切，且⊙与⊙彼此外切．若，且（）．
1）求证：数列是等差数列；
2）设⊙的面积为，, 求证：对任意，均有．
11. (20分) 设求证：
二试。一．（40分）设、、为正实数，证明：
二．（40分）设和分别为的外心和内心，的内切圆与边分别相切于点，直线与相交于点，直线与相交于点，点分别为线段的中点，求证：.
三．（50分）若三元正整数组满足，且，则称为“-幂次”的。例如：（1，2，2）是“5-幂次”的。
1）求所有的三元组，使得对所有，该数组是“-幂次”的。
2）求所有的三元组，使之是“2009-幂次”的和“2010-幂次”的但不是“2012-幂次”的。
四．（50分）如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连。现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条直线（横、竖、斜方向）上依次相连。
问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由。
全国高中数学联赛训练题(二)
第二试。一、设点是的边上中点，垂足、,点是与交点。 证明：当且仅当点为的中点。
二、 设数列，且，记为数列的前n项的和。 求证：是无理数。
三、证明：对于给定正整数，一定存在个连续整数，使得其中任取若干个数，两两的乘积都不相同。
四、以任意方式将圆周上4k个点标上数1，2，…，4k. 证明：
1)可以用2k条两两不相交的弦连结这4k个点，使得每条弦的两端的标数之差不超过3k－1.
(2)对于任意的正整数k，(1)中的数3k－1不能再减少。
全国高中数学联赛训练题(三)
一试(时间：8:00-9:20)
学校姓名准考证号码。
一、填空题（每题8分，共64分。
1、已知则。
2、正方体棱长为，与正方体一条对角线垂直的最大截面面积为。
3．已知，则的值是。
4．若是一个十进制四位整数，记的各位数码之积为，各位数码之和为，为素数，且，，则中的最小者是。
5．设椭圆的一个焦点为，点在轴上，直线交椭圆于点，则实数。
6．已知的常数。
7．已知。 则m的值为。
8．已知99个数每个都只能取1或-1，则的最小值是。
二、解答题（56分）
9.对正整数，记，求数列中的最大值．
10、把一颗骰子连掷10次，问一共出现30点的概率是多少？
11、双曲线的右焦点为，右准线为椭圆以和为其对应的焦点及准线，过做一条平行于的直线，交椭圆于点和，已知的中心在以为直径的圆内，求椭圆的离心率的取值范围。
二试(时间：9:40-12:10)
一：本题满分40分。
在凸四边形abcd中， ad与bc不平行， 且存在圆γ分别与边bc和ad切于c、d, 再设ac与bd交于点p, 圆γ与ab交于两个不同的点k、l, 求证： 直线kp平分cd的充分必要条件是lc=ld.
二：本题满分40分。
求证：对于任意实数，都有：
三：本题满分50分。
设为大于或等于3的整数，证明：在平面上存在一个由个点组成的集合，集合中任两点的距离为无理数，任三点组成一个非退化的面积为有理数的三角形。
四：本题满分50分。
求所有质数，使得存在整数，满足：。
全国高中数学联赛训练题(四)
一试。一、填空题（每题8分，共64分）
1、直角坐标平面内，曲线围成的图形面积是。
2、集合m＝，求出它的每一个非空子集中各元素的乘积（若孩子集中仅有1个元素，则该元素即为要求的积），再求出这此积的和，这个和等于。
3、过椭圆c：上任一点p，作c的右准线的垂线ph（h为垂足），延长ph至q，使hq＝λph（λ≥1），当点p在c上运动时，点q的轨迹的离心率的取值范围是。
4、已知异面直线a，b所成角为60°，过空间一点作与a，b都成角α（0°＜α90°）的直线，则这样的直线的条数f(a
5、不等式：的解集为。
6、甲、乙两人下围棋，五局三胜制（谁先胜到3盘，谁最终胜利）．对每盘棋，甲获胜的概率为，乙为，那么甲最终获胜的概率是。
7、，则a1＋a2＋a3＋a4
8、f(x)＝x6-6x()的最小值是。
二、解答题（56分）
9、定义域为实数集r的函数f(x)同时满足以下3个条件：①x＞0时，f(x) ＞0，②f(1)＝2，③对任意m，n，都有f(m＋n) ＝f(m)＋f(n)．
设集合，，，若a∩b≠φ且a∩c≠φ，试求实数a的取值范围．
10、数列满足对任意n∈n*，，求的最小值．
11、已知，双曲线方程，求同时满足以下条件（1）、（2）的直线l的条数，1）l过焦点，交双曲线于a、b两点；（2）∠aob＝．
二试。一：本题满分40分。
如图所示：am和an是圆o的切线，m、n是切点，l是劣弧mn上异于m、n的点，过点a平行于mn的直线分别交ml、nl于点p、q，或s⊙o＝s△abc．求∠poq＝？
二：本题满分40分。
已知a、b、c是满足的正数，求函数的最小值．
三：本题满分50分。
设，把集合分拆为两个非空集合a与b（即有a∩b＝φ，a∪b＝），使得对a中任意两个不同的元素a、b，有；对b中任意两个不同的元素c、d，有．求n的最大可能值，使得存在满足题意的分拆．
四：本题满分50分。
已知正整数k≥2，为奇质数，且．证明：
有不同于的奇质因数．
数论专练》（做在作业本上）
1.证明对于每个正整数，存在一个可以被整除的位正整数，它的每一位上的数码都是奇数。
2.对于任意正整数，的所有正因数构成的集合为，证明中至多有一半元素的个位数为。
3.证明不存在整数，满足。
4.已知正整数，是由素数构成的集合，且满足：对于任意的，存在一个奇数，使得证明：对于任意正整数，存在无穷多个素数不在中。
5.已知大于1的正整数和素数满足，证明是一个完全平方数。
6.求所有的由不同素数组成的三元数组，满足。
7.若正整数被称为一个“-好数”，其满足下列两个性质：（1）至少被个不同的素数整除；（2）存在的不同的正因数，使得，证明对于每一个，都存在一个“-好数”。
8.证明每个正整数都可以表示为有限个的不同整数次幂的和。的整数次幂为的形式，其中是整数。
9.证明对于每个大于1的正整数，存在正整数，满足的十进制表示中恰有连续的个零，即，其中不等于零。
10.证明对于任意一个给定的正整数，都存在正整数，使得的前若干位恰为。
11.已知是大于1的正整数，求元正整数组的数目，其中两两不同且两两互素，并满足对于任意的，有。
12.将素数从小到大排列为，设，求证对于任意正整数，存在一个完全平方数，使得。
13.设，证明对于每个给定的正整数，数列中必有一项是某个整数的次方。
14.正整数数列满足，其中是将的各位数字的次序反过来得到的数，问是否可以是一个素数。
15.一个正整数数列满足，求的值，使得数列中有尽可能多的完全平方数。
16.求整数列的数目，使得对于每个正整数，有，。
17.求最小的正整数，使得对于所有的正整数，都存在非负整数，使得。
18.某人掷硬币，正面得分，背面得分，其中为正整数，且，他每次将得分进行累计，结果不论他采取怎样的投掷方案以及投掷多少次，都恰有个分值总记录不到，其中就是记录不到的分值之一，试求的值。
19.已知为奇素数，为一列正整数，使得对于，均有不整除， 不整除，证明在中存在若干个数，它们的乘积模余。
20.已知为固定的整数，定义任意整点模的余数为模的余数，求所有的正整数组，使得以为顶点的长方形具有如下性质：长方形内整点模的余数分别为所出现的次数相同；长方形边界上整点模的余数分别为所出现的次数相同。
21.求满足如下条件的最小正整数，在圆的圆周上任取个点，则在个角中，至少有个不超过。
22.为个正整数数对所构成的集合，求证至少有个三元数组，使得都属于，其中中任意一个元素满足的数目之和大于等于，,且。
23.在任意个正整数中若至少有对互素，则必可找到其中的四个数，使得。
24.在一群数学家中，每个人都有一些朋友（关系是互相的），证明存在一个数学家，他所有朋友的朋友数目的算术平均数不小于这群数学家的朋友数目的算术平均数。
25. 已知个学生排成行，列，其中任意两列处于同一行的两个学生中性别相同的学生对都不超过对，证明所有男生的人数不超过。
26.设为平面上个已知点，其中任意三点不共线，线段中值出现的次数记为，设，证明；；。
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