图形的翻折与旋转。
1、（2013湖州）如图，已知四边形abcd是矩形，把矩形沿直线ac折叠，点b落在点e处，连接de．若de：ac=3：5，则的值为 .
2、（2013苏州）如图，在矩形abcd中，点e是边cd的中点，将△ade沿ae折叠后得到△afe，且点f在矩形abcd内部．将af延长交边bc于点g．若=，则= 用含k的代数式表示）．
3、（2013泸州）如图，点e是矩形abcd的边cd上一点，把△ade沿ae对折，点d的对称点f恰好落在bc上，已知折痕ae=10cm，且tan∠efc=，那么该矩形的周长为 .
4、（13年安徽省4分、14）已知矩形纸片abcd中，ab=1，bc=2，将该纸片叠成一个平面图形，折痕ef不经过a点（e、f是该矩形边界上的点），折叠后点a落在a，处，给出以下判断：
1）当四边形a，cdf为正方形时，ef= （2）当ef=时，四边形a，cdf为正方形。
3）当ef=时，四边形ba，cd为等腰梯形； （4）当四边形ba，cd为等腰梯形时，ef=。
其中正确的是把所有正确结论序号都填在横线上）。
5、（2012江苏南京2分）如图，菱形纸片abcd中，∠a=600，将纸片折叠，点a、d分别落在a’、d’处，且a’d’经过b，ef为折痕，当d’fcd时，的值为【 】
a. bcd.
6、（2012河南省5分）如图，在rt△abc中，∠c=900，∠b=300，bc=3，点d是bc边上一动点（不与点b、c重合），过点d作de⊥bc交ab边于点e，将∠b沿直线de翻折，点b落在射线bc上的点f处，当△aef为直角三角形时，bd的长为 ▲
7、（2012天津市10分）已知一个矩形纸片oacb，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点a（11，0），点b（0，6），点p为bc边上的动点（点p不与点b、c重合），经过点o、p折叠该纸片，得点b′和折痕op．设bp=t．
ⅰ）如图①，当∠bop=300时，求点p的坐标；
ⅱ）如图②，经过点p再次折叠纸片，使点c落在直线pb′上，得点c′和折痕pq，若aq=m，试用含有t的式子表示m；
ⅲ）在（ⅱ）的条件下，当点c′恰好落在边oa上时，求点p的坐标（直接写出结果即可）．
8、（2012贵州黔东南4分）点p是正方形abcd边ab上一点（不与a、b重合），连接pd并将线段pd绕点p顺时针旋转90°，得线段pe，连接be，则∠cbe等于【 】
a．75° b．60° c．45° d．30°
9、（2012江西南昌3分）如图，正方形abcd与正三角形aef的顶点a重合，将△aef绕顶点a旋转，在旋转过程中，当be=df时，∠bae的大小可以是 ▲
10、（2012广西河池3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形oefg的顶点f的坐标为(4，2)，将矩形oefg绕点o逆时针旋转，使点f落在y轴上，得到矩形omnp，om与gf相交于点a．若经过点a的反比例函数的图象交ef于点b，则点b的坐标为。
11、（2012四川南充8分）在rt△poq中，op=oq=4,m是pq中点，把一三角尺的直角顶点放在点m处，以m为旋转中心，旋转三角尺，三角尺的两直角边与⊿poq的两直角边分别交于点a、b，1)求证：ma=mb
2)连接ab，**：在旋转三角尺的过程中，△aob的周长是否存在最小值，若存在，求出最小值，若不存在。请说明理由。
12、（2012湖北天门）△abc中，ab=ac，d为bc的中点，以d为顶点作∠mdn=∠b．
1）如图（1）当射线dn经过点a时，dm交ac边于点e，不添加辅助线，写出图中所有与△ade相似的三角形．
2）如图（2），将∠mdn绕点d沿逆时针方向旋转，dm，dn分别交线段ac，ab于e，f点（点e与点a不重合），不添加辅助线，写出图中所有的相似三角形，并证明你的结论．
3）在图（2）中，若ab=ac=10，bc=12，当△def的面积等于△abc的面积的时，求线段ef的长．
13、(2023年临沂)如图，矩形中，∠acb =，将一块直角三角板的直角顶点p放在两对角线ac,bd的交点处，以点p为旋转中心转动三角板，并保证三角板的两直角边分别于边ab,bc所在的直线相交，交点分别为e,f.
1)当pe⊥ab,pf⊥bc时，如图1，则的值为 .
2)现将三角板绕点p逆时针旋转（）角，如图2，求的值；
3)在（2）的基础上继续旋转，当，且使ap:pc=1：2时，如图3，的值是否变化？证明你的结论。
14、（2012四川乐山12分）如图1，△abc是等腰直角三角形，四边形adef是正方形，d、f分别在ab、ac边上，此时bd=cf，bd⊥cf成立．
1）当正方形adef绕点a逆时针旋转θ（0°＜θ90°）时，如图2，bd=cf成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
2）当正方形adef绕点a逆时针旋转45°时，如图3，延长bd交cf于点g．
求证：bd⊥cf；
当ab=4，ad=时，求线段bg的长．
15、（2023年广东珠海9分）如图，在rt△abc中，∠c=90°，点p为ac边上的一点，将线段ap绕点a顺时针方向旋转（点p对应点p′），当ap旋转至ap′⊥ab时，点b、p、p′恰好在同一直线上，此时作p′e⊥ac于点e．
1）求证：∠cbp=∠abp；
2）求证：ae=cp；
3）当，bp′=时，求线段ab的长．
16、（2023年广东梅州11分）用如图①，②所示的两个直角三角形（部分边长及角的度数在图中已标出），完成以下两个**问题：
**一：将以上两个三角形如图③拼接（bc和ed重合），在bc边上有一动点p．
1）当点p运动到∠cfb的角平分线上时，连接ap，求线段ap的长；
2）当点p在运动的过程**现pa=fc时，求∠pab的度数．
**二：如图④，将△def的顶点d放在△abc的bc边上的中点处，并以点d为旋转中心旋转△def，使△def的两直角边与△abc的两直角边分别交于m、n两点，连接mn．在旋转△def的过程中，△amn的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．
17、、（2012成都）如图，长方形纸片abcd中，ab=8cm，ad=6cm，按下列步骤进行裁剪和拼图：
第一步：如图①，**段ad上任意取一点e，沿eb，ec剪下一个三角形纸片ebc(余下部分不再使用)；
第二步：如图②，沿三角形ebc的中位线gh将纸片剪成两部分，并**段gh上任意取一点m，线段bc上任意取一点n，沿mn将梯形纸片gbch剪成两部分；
第三步：如图③，将mn左侧纸片绕g点按顺时针方向旋转180°，使线段gb与ge重合，将mn右侧纸片绕h点按逆时针方向旋转180°，使线段hc与he重合，拼成一个与三角形纸片ebc面积相等的四边形纸片． (注：裁剪和拼图过程均无缝且不重叠)
则拼成的这个四边形纸片的周长的最小值为___cm，最大值为___cm．
18、（2012成都） 如图，△abc和△def是两个全等的等腰直角三角形，∠bac=∠edf=90°，△def的顶点e与△abc的斜边bc的中点重合．将△def绕点e旋转，旋转过程中，线段de与线段ab相交于点p，线段ef与射线ca相交于点q．
1）如图①，当点q**段ac上，且ap=aq时，求证：△bpe≌△cqe；
2）如图②，当点q**段ca的延长线上时，求证：△bpe∽△ceq；并求当bp= ，cq=时，p、q两点间的距离 (用含的代数式表示)．
19、（2011成都）在三角形纸片abc中，已知∠abc=90°，ab=6，bc=8。过点a作直线平行于bc，折叠三角形纸片abc，使直角顶点b落在直线上的t处，折痕为mn．当点t在直线上移动时，折痕的端点m、n也随之移动．若限定端点m、n分别在ab、bc边上移动，则线段at长度的最大值与最小值之和为计算结果不取近似值)．
20、（2007成都）如图，把一张矩形纸片沿折叠后，点。
分别落在的位置上，交于点．已知，那么。
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